Die Bolzaiiosclie Fiuiklion. 5 



Man kann clie Wertc der Punktion fix) unmittelbar fiir 

 die Punkte a„,i bestiinmen. Es jst namlich nach § 1, (7.) 



67 „4_! , 4/ = a,/ , /, A>.^1 , 4/ = An , I. 



Daraus folgt sofort 

 (G. ) a„+!, , 4^' j =:an,iy An+h , 4'' / = ^n . / , (/i = o , 1 , 2 , . . .), 



SodaB f„-i-li icin , i) = fn+h (an+h , 4^* /) = A„+h , 4^' I =^ An , I ist. 



LáBt man h ins Unendliche waclisen, so folgt daraus 

 (7.) f{a,i ,i)^=A,> ,1 , da lim f„-^h (a>, , 1) = fian , /) ist. 



A— ^ oc 



WeJter gilt der Satz: 



Es ist nícM móglicJi ein Teilintervall <C Xi , x-i > aus 

 <0,1> 50 2;í/ hestimmen, daB in ihm die Funktion f{x) 

 entweder 7iur wachse, oder nw falle. 



Da die Punkte an,j eine liberall dichte Menge bilden, 

 kanu man n so wahlen, daO Xi ^ an ,i<ían, z+i ^ x-i ist- Im 

 I lervaJle <C(2n, /, a// , /+] > liegt aber der Pankt an+i,ij-\-s. 

 Nach den Formeln (7.) aus diesem und (7.), (8.) aus dem 

 ^ origen Paragraphen ist 



f(an , /) = An , I , 



9 



f{an+l , 4/+;5 ) = ^>/+i . 4/+:] = J// , / + — Jn , I , 



O 



/(í?» , /+! ) = ^n , /+1 ^= An ,1 -}- . /n ,1 , 



woraus die Behauptung unmittelbar erhellt. 



§ 3. Die Funktion von Bolzano y^=^f{x) kann parame- 

 trisch durch zwei Funktionen der von Steinitz'^) betrachteten 

 Art dargesteltt iverden. 



Setzen wir (1.) q)n {-tA = an. i , cD^ I— I ^=^An,i. Die Funk- 

 tionen g)n(s) , cPh (?) sind dann im Intervalle <C0, !> flir ? da- 

 dnrch vollstándig bestimmt, daB sie in jedem Teilintervalle 



"^ TIT ' AU -^ ' (^ = , 1 , 2 , . . . 4'' — D , linear sein sollen. 



Und die Funktion y = /« {x) ist parametrisch durch x^=-q)n (?)» 

 ^== (Dnfó) gegeben. 



*) Stetigkeit u. Differentialqiiotient, Matb. Annalen 52. 

 (1899), i>. 58. Vergl. auch^d. S. 12 an^. Abh. v. Moore u. Hahn. 



