6 IV. K. Rychlík: 



Wir konnen weiter leicht beweisen, daB die Folgen cpn (?), 

 <Pw (^) filr alle g des Intervalles <C O, 1 > konvergieren und 

 zwar gleichmdBig, so daB ihre Limesfunktionen (p (5), hezw. 

 (P (J) stetig sind fur 0^^^ 1. 



Die Differenz gpn+i (?) — qmi^), welche ^0 ist, nimmt 



im Intervalle <7^j ^n + v ^ dieselben Werte an wie im Inter- 



valle<^^^i^, -^;r->- Im Intervalle <^, ^^rpr > mmmt 

 aber die Differenz ^n + i© — 9?n(?) den groBten Wert ftir 

 g= . n + í a^^' ^^d dieser ist < «,« + !, 4z + i — an + i,4z, d. h. 



<C (5w+l,4Z. 



Die Ungleichheit cpn + i ©~g)n(Š) <(5w + i,4í gilt im 

 ganzen Intervalle <^an,i, an,i-{-\'>. Nach § 1, (14J ist alsa 

 (2.) ^n + i(Š) — g^n (řXC/8)'' + \ und diese Ungleichheit gilt im 

 ganzen Intervalle < O, 1 >. Daraus folgt wie im § 2 die 

 gleichmáBige Konvergenz der Eeihe 



(3.)g)o(?) + (^i(?) — (^0 (?)) + .. .+((p.. + i©-g)n (?)) + ...; 

 ihre Šumme lim q)n (^)=g)(í) ist also stetig im Intervalle 



n—>- 00 



<0, 1>. 



Im Intervalle <tf> .n + i ^ nimmt | cP« + i (ř)— CP« (?) [ 



4Z-4-1 

 den groBten Wert ftir ? = T^rqiT ^^' ^^^ dieser ist gev^iB^ 



áhnlich wie friiher, <C Uin + 1,4/4-1 — ^n + i, 4/ |, d. h. 



< I z/n + i,4í 1 . "Die Ungleichheit I On + ii^) —0n (?) I gilt 



aber im ganzen Intervalle < — » —75- >, da | (Pn + 1 (?) — (Ph (?) | 

 im Intervalle <C tv> ~r^r~ ^ dieselben Werte wie im Inter- 



valle< T^^ijT^, > annimmt. Wegen § 1, (14.) ist also 



(4.) I fn + i{x) — fn (x) I < (V8)'' + \ was fiir das ganze Intei'vall 



< O, 1 > gilt. Daraus folgfc die gleichmáBige (und absolute) 

 Konvergenz der Reihe 



(5.) 00 (?) + {01 (?) - 00 (?)) + .. . +(0n-\-í {Ú — 0n (?)> + ..., 



SO daB lim 0n (?) im Intervalle <0, 1> gleichmáBig kon- 



n— > 00 



