Die Bolzanosche Funktion. 7 



vergiert und die Grenzfunktion 0) (5) im Intervalle <! O, 1 > 

 stetig ist. 



Aus den Formela (6.) § 2 f olgt qjn + h \ ,n-^i] = ^« + ^' (ly) == 

 =^an,i und, wenn man /^ ins Unendliclie waclisen láBt, so 

 erhált man f6.) <3P (lir) — '^"•^ da lim ^/^ + /' l-j7r) ^'Jp (irTr) ^s^- 



Ganz áhnlich wiirden wir (6.) cž) I— -1 ^=^Anj erhalten. 



Wir konnen jetzt beweisen, daB die Funhtion <p (B) int 

 Intervalle <C0, 1!> bestdndíg wdchst. Jede der Fanktionen 

 g/ní?) nimmt bestandig zn, so daB flir 0^?i<CÍ2"^fI die 

 Ungleichheit cpn (íi' <. gjn ^^2) gilt. LaBt man n ins Unendliclie 

 wachsen, so folgt daraus ^ (^i) ^ ^p (^2). T)ie durch die Punkte 



j^gebildete Menge ist iiberall dicht. Man kann also ein 

 solches n finden, dai3 (7.) £1 '^ — •<——- '^^ £2 ist. DaT^I— )== 



= an,i , (p \~T;r] = «?< , /+i nnd au,i < a v ,7-1-1 ist, so werden aus 



(7.) die Ungleichheiten (pi^^) '^ an,i <^ fia j-\-\ '^(pi^^) folgen, 

 d. h. ^(^i)<^(^2), w. z. b. w. 



Die filr 0^ J^i hesUindig wachsende stetige Funldíon 

 x^=- (p{^) Jiat also filr O ^ úc ^ 1 eine stetige, bestandig wach- 

 sende inverse FunMion B^=^ip{x). 



Daraus folgt die Stetigkeit der zusammengeseízen Fun]v'- 

 tion 0iipix)) filr alle x aus deni Intervalle <! O, 1 >. Diese 

 Funktion nimmt aber in Punkten an,i dieselben Weríe an 



wie fix)' Es ist námlicli f {an,i)^= An.i ,cp i-j:;] '==-anj, also 



— ^^\p {an,í) , so daB wirklich a> {ip (an , /)) = j— I =^ Av,i 



ist. Da die Punkte an.i eine iiberall dichte Menge bilden, so 

 sind die heiden FunUtionen fix) und (ip ix)) einander im 

 ganzen Intervalle <;0, 1Z> gleich. 



Es ist auch einleuchtend, daB man y = f ix) paraniefrisch 

 durch x^=^(p (5), y = (D (f) darstellen kann. 



§ 4. Es sei X ein beliebiger Punkt des geschlossenen 

 Intervalles <:0, 1>. Bestimmen wir t^=%i'(x), so daB x^=fp (J) 



