12 IV. K. Eychlík: 



d. h, (31.) f(x) = An ,ij, + ^zÍN, ij, 



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§ 5. Um zu beweisen, daB die Funktion von Bolzano 



fU) in keinem Punkte des Intervalles <0 , 1 > eine endliche 



Derivierte besitzt, werden wir zuerst einen Hilf ssatz beweisen.*) 



Es sei f(x) eine eindeutige, im Intervalle < 0, 1 >• defi- 



nierte, Funktion. Setzen ivir 



(1.) B (x, x") = ^'"""l ~ ^^^'^ , (x =^ X), 



X — X 

 Die FunJdion f{x) besitzt dann mid nur dann im inneren 

 Punkte des Intervalles < , 1 > eine (endliche oder bestimmt 

 unsndliche) Derivierte fix), wenn R (xn x\i) zu demselhen 

 (endliclien oder bestimmt unendlichen) Grenzwerte konvergiert 

 filr alle Paare von Folgen xú , Xu' aus <0 , l>,die denBedingun- 

 gen (2.) Xt! ^.x^ X)l\ Xn < Xu" , lim Xa = lim. Xn = x, genúgen. 



Der gemeinsame Wert dieser Grenzwerte ist dann f{x). 



Wenn lim B{x„,x",>) flir alle Paare von Folgen, die 



;/ — >- 00 



den Bedingungen (2.) geniigen, existiert nnd denselben Wert 

 besitzt, so folgt daraus, wenn wir zuerst xu=^x, so daB 

 x„" > o;, lim Xi," = X ist, dann x !' = x, so daB Xa < x, lim Xn = x 



}i > 00 _ n >► OD 



ist, wahlen, dio Existenz von fix). 



Um die Umkehrung zu beweisen, bemerken wir, daB 



.^ , -P,. , ,, > \X„" —X ) B {Xn\ x)-\-(x~ Xn) B (Xn\ x) . , -, „ 



{3.)B{x>i ,Xu ) = 7 — Tr T-T-/ r. ist,so daB, 



{Xn — X) -\-{X Xn ) 



wean Xn<x<Xn' ist, B{xá,Xn') zwischen B{xn,x) und 

 BXxn", x) liegt. Aus der Existenz von f(x) folgt dann aber auch 

 lim B (xn, :2;) =lim B ixn", x)^=^f(x)í\lT alle Folgen Xn\ Xn, die den 



n — >■ 00 » — > 00 



Bedingungen (4.) Xn <x< Xh\ lim Xn == lim Xn = x genugen, 



H •— >- 00 )l —>- 00 



so daB dann aucli lim B{xn,Xn)^=^f{x) ist. Fiir (5.) Xn^^x, 



II— > 00 



x,!'>x, lim Qn^^x ist lim i? (íCw', íTh") = lim B{x,Xn')=^f(x), 



)i—>- 00 n~->- 00 n—>- oo 



nnd flir (Q.) Xn' =^x, Xn <x, lim Xn^=^x ist lim B{xn,Xr!')'=^ 



*) Dieser Hilfásatz wird schou von Sieinitz (1. c. S. 66—68) be- 

 nutžt. Verg-1. aueb Moore: Transact. Amer. Math. Soc, 1 (1900), S. 

 84; Kaopp; Jabresber. d. d. Math. Vereinig. 26 (1918), S. 278; Haliu: 

 Daselbst, S. 281. 



