Die Bolzanosche Funktion. 13 



^ \im R {xn , x) =^ f ix). Da jede Doppelfolge, die den Bedin- 



gungen (2.) geniigt, aus denen, die den Bedingungen (4.\ 

 (5.), oder (6.) geniigen, zusammengesetzt werden kanu, so 

 existiert wirklich lim R {xn, av/') fiir alle Paare von Folgon, 



die den Bedingungen (2.) geniigen, und ist gleich f{x), womit 

 der Hilfssatz vollstándig bewiesen ist. 



Der Satz gilt auch fúr die Randpunhte des Intervalles 

 íi; = und x'=^\, wenn man im Punkte 2^ = die rechtssei- 

 tige, und im Punhte x=^l die linksseitige Derivierte betrachtet. 



§ 6. Wenn Xn', Xn die in § 4 eingeftlhrte Bedeutung 

 haben, dann sind, wie aus (7.), (9.) § 4 folgt, die Bedingun- 

 gen des Hilfssatzes aus § 5 erfiillt. Nach der Formel (19.) 



aus § 4 ist (1.) -^ — T, — —r———. = y-kr ^k. • - . ^k,, . 



Xn Xn On , /^^ 



Wenn der 4adische Bruch flir J unendlich 

 viele Ziffern O oder 2 enthalt, dann wachst 



f{xn) — f(Xt!) 



Xn Xii. 



5 

 ins Unendliche mit n, da zo = y^ = "irist. Kommen in 



o 



ihm nicht die Ziffern O oder 2 unendliche Male vor, so daB 

 von einembestimmteu?^ = A^+l ^in 1 au tei* Zif- 

 fern 1 oder 3 vor kommen, dann ist flir n> N 



Xn Xn 



und dieser Ausdruck konvergiert nicht fui* w — ^oc. Aus dem 

 Hilfssatze aus § 5 ist also ersichtlich, daB die stetige Funktion 

 f{x) in inneren Punkten des Intervalles <0,1> keine enď 

 liché Derivierte besítzt; im Punkte O besitzt sie keine end- 

 liché rechtsseitige, im Punkte 1 keÍ7te endliche linksseitige 

 Derivierte. 



Bemerkung: Zu diesem Resultate kann man auf fol- 

 gende, von H. Dr. V. Jarník*) angedeutete, Weise gelangen : 



Setzen wir Hiv = ^ + 7^ + • • • , Xa=(^ (Ha), wo K^ = h, 



*) O funkci Boizanově, Časopis pro pěst. math. a fys. 51 (1922). 



