Die Bolzanosche Funktion. 15 



Zum Beweise werden wir die Polgen Xn, Xn aus § 4 

 betrachten. Fiir sie ist 



,, , f{Xn)—f{Xr;) _ ^n,l, 



lU tf f v 



Xn — Xn On , ř„ 



AuBerdem werden wir ein anderes Paar von Folgen 

 Xn ,Xn konstruieren, welche, wenn n gewisse ganze positive 

 Zahlen durchláiift, auch den Bedingungen (2.) § 5 genligen 

 und fiir die 



fGcn) — f{Xn) ^ ^'h^ 



Xn' —- Xn ^" ' ^n 



ist. Dabei bedeutet // eine numerische Konstantě > 0. Es 

 ist aber 



^n . /, 



(3.) -= z/u y^k, ■ . • y-kn í also lim 



On , L, n—>- oc 



Óti , I 



entweder endlich und >0 oder + oo. Aus dem Hilfssatze 

 ^ 5 folgt dann unmittelbar der behauptete Satz. 



Wir werden mehrere Falle, je nach den Ziffern, welche 

 im 4-adischen Bruclie fiir í vorkommen, unterscheiden 

 mtissen. Zuerst den Fa 11 I., wo esunendlichviele 

 Ziffern 1 und 3 gibt. Damit ist auch der t^all der 4-adischen 

 von O verschiedenen Brtiche von endlich vielen Ziffern erledigt. 

 Dann werden wir den Fa 11 II. betrachten, wo von einer 

 gewissen Stelle an 1 a uter 2er vorkommen. Es blei- 

 ben nun die Fálle ubrig, wo von einer 2'ewissen Stelle an 

 nur O und 2, beide in unendlicher Anzabl, vorkommen. 

 Diese werden wir weiter einteilen in Fálle: III., wo un- 

 endlichviele Paare 00 vorkommen, IV., wo un- 

 endlich viele Paare 22 vorkommen, und V., wo von 

 einer gewissen Stelle an keine Paare 00 und 22 vorkommen, 

 so daB í durch einen 4-a dischen Bruch mit der 

 Periodě 02 ausgedrlickt werden kann. 



I. Man kann eine Folge von Werten n finden, fur 

 welche kn+i = 1 oder 3 ist. 



Setzen wir 



(4.) Xv = Xni-Í, x"n=^x'n-\-h 



