20 IV. K. Rychlík: La fonction de Bo^lzanov 



polygonale Mt,+i,u Mn-\-iAi+i . . . Mn+iAi-Hi ou le point 

 Mn+i,Ai est identique au point Mn,i, ]e point Mn+i,.4/-H au 

 point Mw.z+i. Mn,o coincide avec Moo et Mn.é*" avec Moi. 

 Moo Moi correspond á /o(a;) = a;. Dénotous par í7n.z.^«,z = 

 ^=fn{an,i) les coordonées dii point Mu,/. On a (4.). En posant 

 (5.), on obtient (6.): (7.) et (8,) fournissent a„+i,m, An+i,m au 

 moyen de an,i, An,i. lutroduisons la notation (10.); nous 

 obtiendrons (11.). (12.) resumé les formules (7.), (8.), (9.). 



§ 2. La série (4.) converge iiniformément pour touš 

 les X de ťintervalle ^O,!^*. Sa somme lim fn{x)^=-f(x) est 



n — > 00 



alors continue dans rintervíille<0, 1 >. 



§ 3. Posons (1.). Les fonotioiis q),i{^), (Dn(^) sont détermi- 

 nées complětenient pour O^^^l par la condition ďétre li- 



néaires dans chacun des intervalles partiels <: — - , ^^ > . 



Les fonctions g}(§) = lim (pA^), (Z)(£) = lim On{^) , comme 



sommes des séries uuiformément convergentes (3.), (5.), 

 sont continiies dans Tintervalle <;0,1>. Ou obtient 

 immédiatement Texpression parametrique de la fonction de 

 Bolzano y^^fix) par les fonctions a; = (jp(5), z/ = d>(J) qui sont 

 du type considéré par M. Steinitz (Math. Ann. 52, 1899, 

 p. 58.). 



§ 4. L'expression de x et de f{x): (24.), (25.), si g est 

 donné comme une fraction 4 adique. 



§ 5. Un lemme dout se sert déjá Steinitz (1. c; cf-.aussi 

 Tannery, Introd. á la tli. d. fonct. 2. éd. 1904, p. 415). 



§ 6. Au moyen dii lemme indiqué dans le para^njphe 

 precedent, en utilisant Texpression parametrique de la fonc- 

 tion de Bolzano fix) indiquée au § 3, on démontre quc 

 celle-ci n^a pas de derivées finies aux points intérieurs de 

 Vintervalle (0,1). Au point a; = il n^y a pas de dérivée 

 finie á droite, au point ít = 1 il n'y a pas de dérivée a gauche. 



§ 7. Par les mémes moyens on dém^ontre que la fonc- 

 tion de Bolzano n'a pas de derivées infinies a signe déterminée 

 (-[- 00 ož^, — Qo) a Vintérieur de Vintervalle (0,1); le méme est 

 vrai pour la dérivée á gauche au point 0^ = 1. 



