Příspěvek k theorii Borelova pokračování funkcí. 



s OSOU reálnou úhel — . Ptáme se nyní, jak se při tom 



chová Q (z) . V tom dovíme se ze známých vzorců*) upra- 

 vených ovšem podle našeho způsobu označování 



m 

 j—— n—l — — g^ Til 



lim (a;+^)=y--^2^e " , m sudé; 



x—> o + 



v 





z toho jest patrno, že funkce {z) vzrůstá nad všechny 

 meze, když x blíží se k nulle pokud příslušné Gaussovy 

 součty jsou od nully různé. Jestliže však Gaussův součet 

 jest roven nulle, což nastane pro min současně liché, blíží 

 se Q {z) k nulle a rovněž všechny derivace její podle x. 



Tyto známé vlastnosti doplníme vyšetřením, jak chová 

 se Q{z), když x-^^ a y jest dané číslo irracionálné. 



Cauchy-ova formule transformační 



'^(^) = V7®(t) (2) 



+ 

 platí pro každé komplexní z splňující podmínku x=^R (z) y^o . 

 Tuto formuli lze snadno zevšeobecniti, uvážíme-li že 



a a-\-2k 7ci 



e =e 

 kdež k jest libovolné kladné nebo záporné číslo celistvé. 

 Tedy také 



Užiju-li nyní na pravou stranu této rovnice transformace 

 (2) dostanu 



® (t) — Vi + 2/cis ® \\^^2kiz] ' 

 To dosadím do (2) a obdržím 

 Q 



^(^)-yi + 2fcí.®(l+2%i^)' 



*) Thomae: Abriss einer Theorie der compl. Funkt. Halle 1873. 

 Viz též Krazer: Thetafunktionen p. 190. 



ř 



