Příspěvek k theorii Borelova pokračování funkcí. 7 



aí^ = — 1 ; feí^ == 1 , 

 neboť v případu tom představuje řetězec číslo racionálně. 

 Toto poznání můžeme vysloviti také ve tvaru věty následující, 

 která nám bude prospěšná. 



V řetězci (5) pro irracionálné číslo y jest nekonečný 

 počet zlomků tvaru 



, hp > 1 nebo 



I2A;. ' "'^ ^ I 2 • 



Volme jeden mezi těmito význačnými zlomky a zaveďme 

 označení 



1 I _|_ a=í I , I _^ ''-' i I ^^'1 



y — I o 7. "T I o /. "T • • • • I k)' 



2A:i ' 2fe * * ' * |2A:r 



(6). 



1 2 /c í.'+i 

 Pak bude podle známých pravidel o řetězcích 



A v-\ _ av {Ar-2B v-l A v-l B r-2]) 



^ Bv-i~~ B r-1 {B r-l dv + ar B r-2) 



Sleduj nie dále jmenovatele sblížených zlomků. Jest 



B-i — 0; 5o = 1 ; 5i = 2 A;i ; ^2 = 2 fe 5i + «2 . 1 ; 



Bv = 2 kr B r-l + ar B r-2 . 



Z těchto rovnic soudíme, že 



Bi>Bo; ^2 > Bi , a obepne 



Br'>Br-\,2kr--Br-i^3Br-[, kÚjŽ JCr > 1 a. 

 Br "> B r-1.2 kr — B r-[ =: B r-l , kČjŽ kr = 1 . 



Z toho soudíme, že posloupnost Bi, B^, ... jest stále vzrů- 

 stající a to nad všechny meze. 



Vraťme se opět k význačnému indexu v. Pak jest, jak 

 jsme již zjistili 



ór>2kv — l a tedy 



B /'-l Ór + ar B r-2 > B r-l (2 kr — \) — B r-l — 

 — Br-l{2kr — 2)^2Br-\, 



pokud Zcv > 1 . 



Jestliže však kr=^ly bude nutně av = l (pro význačný 

 index) a tedy 



B r-l dr + arBr-2>Br-lA + B r-2 > B r-l . 



Pro všechny význačné indexy bez rozdílu jest tedy 

 nutně 



B r-l ór + ar B r-2 > B r-l (7) 



