Příspěvek k theorii Boi-elova pokračcnání funkcí. H 



platiti jedna z nerovin ( 14i ) nebo (14ii). To pak má ten 

 význam, že prostá hodnota právě označené funkce vzrůstá 

 nad všechny meze, když Xm blíží se k nuUe posloupností 

 shora vytčenou. Totéž platí přirozeně o prostých hodnotách 



funkce 



Q {Xm — iy). 



Přímým důsledkem této věty jest pak výrok: 

 Jestliže 7 jestčíslo i r racionálně menší než 



1 a jestliže X blíží se spojitě k n u 1 1 e kladnými 



hodnotami pak Q{X:^iy) neblíží se k žádné ko- 



nečnélimitě. 



4. Na začátku odstavce 1. zavedli jsme označení ^ = e~'^^. 



Tím přejde funkce Q{z) v obyčejnou řadu potenční 



/(c)==nh2 (c'^+c2^+c'^+ .*. . +r+ . . . ) . . . (15) 



s jednotkovou kružnicí | ^ | = 1 jako přirozenou hranicí. 

 V předcházejících odstavcích zjistili jsme, jak chová se tato 

 funkce, jestliže ^ blíží se k obvodu kružnice konvergenční po 

 některém z poloměrů této kružnice. Funkční hodnota blíží se 

 při tom ke konečné limitě jen při těch poloměrech, které 

 svírají s reálnou osou úhel ti m/n , kdež obě celistvá čísla m , 

 n jsou lichá. 



Z toho plyne ihned tento poznatek : 



Funkce f (O definovaná ro vni cí (15) není mono- 

 genní podle BoRELA v žádném oboru C, *) který 

 by přesahoval jednotkovou kružnici. 



Takový obor C vznikne totiž tím způsobem, že ze spo- 

 jité části roviny ^, kterážto část přesahuje jednotkovou kruž- 

 nici, vyloučíme spočetné množství kruhů vzájemně se nepro- 

 tínajících. Zbytek jmenované části roviny tvoří obor C. 

 Fankce monogenní v oboru C jest pak spojitá v oboru tom 

 a má derivaci v každém vnitřním bodě toho oboru, to jest 

 v každém bodě, který nepřísluší k hranicím oboru. 



Kdyby takový obor C širší nežli kruh 1^1=1 pi*o funkci 

 f (0 existoval, musily by středy vyloučených kruhů ležeti 

 buď vně jednotkové kružnice, nebo na jejím obvodu, neboť 

 celý vnitřek konverg. kružnice patří k oboru monogenity. 

 Z posice vyloučených kruhů a z té okolnosti, že se neprotí- 

 nají (ani nedotýkají) by však plynulo, že nespočetné množství 



*) Definici takového oboru viz Borel 1. c. 



