Příspěvek k theorii Borelova pokračování funkcí. 13 



Cu Cu G, . . ., která má tu vlastnost, že řada 



co 

 n = 1 



konverguje. Utvořme dále funkci komplexní proměnné 



^(C) = 3Cnn-«n (16) 



n -1 



Při tom volme za odmocninu onu větev dvojznačné funkce^ 

 která pro ^ = se redukuje na 



2 are CCn 



nia. 



Funkce g iO konverguje stejnoměrně uvnitř jednotkové kruž- 

 nice, což vyplývá z té okolnosti, že tam jest 



IVc-co. |<V2 



g (C) jest tedy analytická funkce v oné kružnici. Jest tedy 

 i její derivace funkcí téže vlastnosti a platí 



Lze snadno nahlédnouti tyto dvě vlastnosti funkce g (^) : 



1. Ať blížíme se k obvodu kružnice | ^ | = 1 po kte- 

 rémkoliv poloměru, vždy funkční hodnoty ^ blíží se ke 

 konečné limitě, která nepřesahuje, svou absol. hodnotou číslo 



Í2 S Cn 

 n = \ 



2. Když blížíme se po poloměru k některému z bodů 

 C=an, prostá hodnota derivace ^'(0 vzrůstá nad všechny 

 meze. 



Důkaz 1. jest téměř samozřejmý a pokud se důkazu 

 věty 2. týče, dá se provésti touž methodou, která jest vy- 

 ložena n. př. v citované knize Borelově v kapit. I. při vý- 

 razech tvaru 



2 An 



Z — an 



Všimněme si nyní funkce definované součtem / © + ^ iO 

 Když blížíme se k bodu kružnice ^ = 1 po poloměru, který svírá 

 s osou reálnou úhel nesouměřitelný s tc pak / © nemá. 



I 



