14 Příspěvek k theorii Borelova pokraéovúní íuiikcj. 



iimity a g (í) má ji. Tedy součet nemá limity. Jestliže 

 úhel oneQ jest rcmln^ kdež jedno z ceK^h čísel m, n jest 

 sudé a druhé liché, platí totéž co pro úhel nesouměřitelný. 

 Jestliže konečně obě čísla m, 7i jsou lichá, pak součet sice 

 má limitu avšak jeho derivace f {O -\- g' iO limity nemá. 



Tím jest řešeu i druhý problém v úvodu naznačený a 

 dokázána platnost věty, kterou úvod jest ukončen. 



A remark on the Borels theorie of inonog-eneous functions. 



(Abstract of the precedent article.) 

 The thetafunction 



co 



f{z) = \-\-2 2z''' 



v — 1 



has following known properties. 



JTzp 



If we put z=^re q , where p, q are integrál numbers 

 without common factor and if r-^1, then 



fiz)-*- O [p^q both odd) or f(z)-^ cc {p^q no both odd). 



The principál result of the precedent investigation is 

 the theorem: 



If z = re^^^, where y is any irracional number and if 

 r-^ 1, then fiz) cannot háve a limit. 



Two immediate cousequences of this are: 



1. The circle of convergence | ^ | < 1 is the region (C) 

 of Borels monogeneity of the thetafunction. 



2. We denote by ai, a^, , . . the set of all different 



Í7tp 



00 



numbers e q , where p, q are both odd and by J Cn a 



convergent series of positive constants. Then defines the 

 equation 



00 



F{z) — f{z)-\-2 Cn^^ —^ 

 n = l ^^ 



a function, which háve following remarkable property: 



Is 9p in = re'^ any fix number and if r-^1, then 

 F{z) and F'(z) cannot háve simultaneouslv finite limits. 



