Léš corudit. ďinjtégrabil. de la théor. projecl des surfaces. 9 



supposant^>2, a été faite par M. Fabiui dans la Notě 

 citée. Ony arrive au résultat que les formes 2^2 et F3 suffi- 

 sent á déterminer toutes les autres. II résulte des belles 

 recherches de M. Cartan i^) que pour w = 2, il existe toutes 

 une série des surfaces, dépendant de six fonctions arbitraires 

 ďun argument, oú les formes F^ et F^ étant données, ilya- 

 encoreun parametre (au moins)arbitraire dans les autres for- 

 mes différentielles. 



Dans ce qui suit, je discute les coaditions ďintégrabilité, 

 pour ^ = 2, par le calcul direct. Une autre méthode pour 

 écrire les conditions ďintégrabilité pour ^ = 2 a été employée 

 par M. Fubini dans deux Notes intitulées Fondamenti 

 di geometria pr oie ttivo-d if f er enzi al e di una 

 superficie^^). L'auteur y suppose le facteur des x nor- 

 ma 1 i s é de f agon á avoir 



Am An2 A122 



A112 A122 A222 =^^1 



A,i A12 A22 



et arrive á un résultat assez elegant, sans écrire toutefois 

 explicitement les conditions ďintégrabilité pour les coordon- 

 nées curvilignes les plas générales. lei, ja ne ferai aucun 

 usage des paramětres asymptotiques. 



Faisons donc, dans les formules précedentes, 7^ = 2, 

 L'équation (25) donne, si Ton designe par K la courbure 

 de F2, 



[12, 121 = ^11^12 (Aii2i — Aiii2) + (^11^22 + ^12') (A1221 — A1122) 

 ~r '«^i2'^22 (A2221 A1222) ií 



- -^ [^11 ( A„i Ai-22 - Aii2^) + 



I" ^12 (Alll A222 A112 A122) ~r ^^22 ( A112 A222 Al22^)] • 



En premiér lieu, on a Téquation (17), oú Ton doit poser 

 5, iř,r,Á;=l,2, 1,2. II vient 



^11 ^12 ( A1121 — Ani2.) + (^11 ^22 + ^12') ( A1221 — A1122) + 



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12) Sur la déformation projective des surfaces. 

 Ann. de 1' Ec. Norm. Sup. 37 (3), 1920, pp. 259—356. Sur le problé- 

 me généraldela déformation (C. R. du Congrés de Strasbourg, 

 1921, pp. 397—406). 



^») Rendiconti Accademia Lincei, vol. 27, 1 luglio 1918. 



