383 



§ 13. Řešení algebraické rovnice o skalarných koefficientech. 

 Má-li se řešiti libovolná rovnice o skalarných koefficientech 



M n + a^M"- 1 + . . + on z= čili ljp(M) = o, 



tu rozložme především <p(M), pokládajíce M na okamžik za libovolnou 

 hodnotu, na linearné faktory 



<pQS) = (M — ^)(M — « 2 ) . . . . (M — a n ). 



Aby qp(M) vymizelo, jest dle předešlého § nutné a postačí, aby 

 polynom <p(M) obsahoval faktora ^(M), je-li ^(M) zz rovnice nej- 

 nižšího stupně, které M vyhovuje. Rovnici <p(M) zz tedy hoví 1. 

 všecky matrice, jichž minimální rovnice jest 



(M - «.)(M — ccj) zz O (ts; ; i, j = 1, 2, . . ») 



a 2. skaláry 



Mzz«;, (i== 1, 2, . .w). 



Tím jsou zároveň všecka řešení dané rovnice stanovena. 

 Mějme n. př. rovnici 



M n —lzzO. 



Položíme-li e n zz A, máme 



M« — 1 zz (M — A)(M - A 2 ) . . .(M — A"). 





Hoví tedy dané rovnici skaláry A, A 2 , . . A n a pak matrice ne- 

 skalarné 



M = Q-i{ A ^ JJQ, (fcsAí; *, fe = l, 2,...n) p 



Každá tato matrice podává substituci v pravém slova smyslu, 

 neboť 



|ilř=A*+*2:o, 



Nazveme-li elementy matrice M, «, č>, c, d a položíme-li 



ÍC 1 ZZ ťííC -f- 6?/ , CC 2 ZZ 6říC t -f- %, , 



