384 

 obecně 



x v+1 — ax v -f by v , 

 y v+í = cx v -f- d^ , 



jest patrné, že vzhledem ku M M — 1 , bude 



x n ~ a? , yn — y t 



t. j. M jest substituce periodická;*) a s. pravíme, že jest M sub- 

 stituce periodická n h0 řádu, pak-li teprve x n , ?/ n se shodují s a?, ?/, t. j. 

 pak-li všecky mocnosti M p jsou různý od 1, kde p<.n. Jelikož 



Mp =Q-fS?4 Q 



se rovná 1 jen tehdy kdy l llp = 1^=:1, tedy bude M periodickou 

 substitucí n h0 řádu , pakli pro p = 1 , 2, . . n — 1 nikdy neplatí 

 rovnosti 



l*p =: A**» = 1. 



Je-li n kmenné číslo, vyžadují tyto rovnosti, aby hp a kp byla 

 dělitelná číslem n t. j. aby čísla h a k byla dělitelná číslem w, a po- 

 něvadž h a, k jsou dvě různá z Čísel 1, 2, . . w, tedy jsou ony dvě 

 rovnosti nemožnými t. j. při kmenném n jsou všecky nalezené ma- 

 trice periodickými n h0 řádu. 



Mějme n. př. rovnici 



M 2 z=:l. 

 Poněvadž 



M 2 -l=z(M — 1)(M + 1), 



máme mimo skaláry + 1 jakožto řešení ještě matrice periodické 

 druhého řádu 



tím stanoveny všecky periodické substituce druhého řádu. Učinivše 

 Q = {«' §} , máme Q- = ±{\ ~J\, J= a S-(iy^O, 



*) Srovnej, Serret, Algebře supérieure t. II, n° 461, 4 e éd., Sylvester, Comptes 

 reudus, t. XCIV, p. 57. 



