479 



nicht mehr als einen Doppelpunct hat, die g<® Vollschaar ist. Damit 

 aber hier p ^ m — 2 sei, braucht nur ra ^ 4 zu sein. Diesem kann 

 man zufiigen: Ist speciell h zu 0, so gibt es auf C™ ausser gj iiber- 

 haupt Jceine Specialschaar mit der Gruppenzahl m: Denn Q' sei eine 

 Gruppe von m Puncten einer Schaar g%\ C x die Curve niedrigster 

 Ordnung, welche durch Q' moglich ist. Soli q > 0, so mússen durch 

 den Restschnitt R von C*, C™ , welcher aus m (a; — 1) Puncten besteht, 

 wenigstens oo 1 Curven O* gehen, und demzufolge darf x- nicht kleiner 

 als m {x — 1) sein. Wenn aber m >■ x -j- 2 wáre, so wurde m (x — 1) 

 >x 2 -\-x-{-2 íolgen; also m(x — l)>x 2 , sobald x>l. Daher kann 

 m nicht grosser als x -f- 2, oder a; nicht kleiner als m — 2 sein, wofern 

 nicht x =z 1 . 



Das Vorhandensein einer adjungirten C m-4 , welches wir zu Grunde 

 legen, bedingt m > 4 ; indess ist der Fall ??* = 4, pro durch das 

 eben Vorgebrachte erledigt. Was CŽ angeht, so existiren auf ihr nur 

 00 L Specialgruppen und g$ ist nicht mehr Specialschaar. 



Wenn nun zunachst m z= 5 betrachtet wird, so ist fúr p =^ 3 

 entsprechend h :< 3. Wáre A =: 3, so kann g<f nicht Specialschaar 

 sein, da die drei D nicht in gerader Linie liegen konnen. Wáre h ■==. 2, 

 so gehen doch nicht alle durch einen D gezogenen Geraden auch 

 durch den zweiten D; folglich ist dann g { f Vollschaar, ebenso wie 

 bei h ,== 1, /i-0, 



Schon hieraus ersieht man, dass die Erfullung der iiber die 

 C m " 4 nóthigen Voraussetzung an das Vorhandensein einer gewissen 

 Minimalzahl von Puncten D geknitpft ist, und unsere náchste Aufgabe 

 soli darin bestehen: „den Meinsten Werth von h zu ermitteln, bei 

 ivelchem es iiberhaupt moglich ist, dass alle C m ~~ , die von diesen h 

 Puncten h — 1 aufnehmen, auch den letzten enthalten. u 



3. Das Minimum von h — bezw. Maximum von p. 



a) Bestimmung einer unteren Grenze fúr die Ordnung v einer 

 C v , velche sámmťliche D enťhalten kann. 



Wenn p-žm — 2, also nur eine C™ -4 durch die D existirt, so 

 konnen diese D offenbar auf keiner C v liegen, wobei v<m-4 Wenn 

 p — m — 1, so dass die D zu den Grundpuncten eines bestimmten 

 Biichels (C™"" 4 ) gehoren, so kónnten die D selbst die (m — 4) 3 Grund- 

 puncte sein. Da aber von diesen einer, und nicht mehr als einer 

 durch die iibrigen bestimmt sein muss, so bedingt dies : m — 4 — 3, 



