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1. Pour établir cette proposition nous allons indiquer une con- 

 struction qui permet de construire la trisectrice point par point; et 

 la cardioide tangente par tangente. Voici cette construction. 



Prenons un cercle A (Fig. 1) et considérons un rayon fixe 

 O A, dans ce cercle. Par les points O et A menons deux droites pa- 

 rallěles AB, OC qui coupent A en des points B et C; les tangentes 

 en ces deux points concourent en /; le lieu de 1 est la trisectrice 

 de Mac-Laurin. 



Démontrons ďabord cette propnete. Le triangle rectangle OC1 

 donne 



_ R 

 9 — cos IOC ' 



mais les arcs BC et CD étant égaux, on a 



IOC=™- 



et, par suitě, 



_ R 



(1) í> - o ' 



cos x 



Telle est 1'équation polaire du lieu décrit par le point 2; il faut, 

 avant ďaller plus loin, reconnaitre que ce lieu est bien la trisectrice 

 de Mac-Laurin. 



L' identitě 



COS (O = 4 cos 3 — ócos-^- 



ó o 



appliquée a Fégalité (1) donne 



cos co •=. 4 — í o 



et, par conséquent, 



(2) íc(íc 2 + 2/ 2 ):z:4 2? 3 — 3R (x 2 + y 2 ); 



c'est, dans le systéme ďaxes que nous avons adopté, 1'équation du 

 lieu décrit par /. 



La trisectrice de Mac-Laurin est une cutyique caractérisée par 

 les propriétés suivantes: 



