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par conséquent, le conjugué harmonique de J par rapport a BC est 

 un point J f tel que 



CJ' ~ BC 



D'aprěs cela, la tangente a la trisectrice s'obtient en joignant 

 / au point J f synimétrique de B par rapport a C Ce point J f s'obtient 

 donc, comme 1'indique la figuře, en menant par le point D une pa- 

 rallěle a 0(7, jusqu' á sa rencontre avec BC. Voila donc, en résumé, 

 des constructions conduisant bien simplement au tracé par points et 

 par tangentes de la cardioide et de la trisectrice du Mac-Laurin. 



Mais on peut en déduire, des propriétés précédentes, quelques 

 autres conclusions intéressantes. 



5. Rayon de courbure de la cardioide. — Considérons 

 (fig. 2) deux tangentes a la cardioide BJC, B'J ř C et soient «/, J' 

 les points de contact avec la courbe; nous venons de voir que 



B J B'J> _ 



JC — J'C 



D'autre part, on sait que si deux segments de droites BC, B'Q 

 sont partagés au points J, J ř dans le méme rapport les cinq droites 

 BC, B'C\ BB\ CO et JJ' enveloppent une méme parabole P\ en 

 outre, par une autre propriété également bien connue, le foyer de 

 cette courbe appartient au cercle circonscrit au triangle KJJ' '; les 

 trois cótés de ce triangle sont, en effet, tangentes a la parabole P. 



Cette observation étant faite, nous passons á la limite, en sup- 

 posant que B'C' vienne se confoudre avec BC La parabole P a pour 

 position limite une parabole Q, tangente aux droites BI, Cl et, aussi, 

 tangente á BC au point J. Ce dernier fait résulte de la remarque 

 en vertu de laquelle KJ et KJ ř sont deux tangentes infiniment voi- 

 sines de la parabole P considerée ci-dessus. 



On déduit de la que le foyer F de Q est a 1'intersection des 

 deux cercles U et V (fig. 3) ; ces cercles passent par J et respecti- 

 vement par B et C, tangentiellement au cercle A- 



Voici maintenant comment on peut déduire de cette remarque, 

 peu intéressante en elle-méme, la construction du centre de courbure 

 en un point J pris sur la cardioide. 



Reportons nous ďabord á la fig. 2 et considérons le cercle 

 circonscrit au triangle KJJ ř ; ce cercle passe par le point de con- 



