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(1) 2&<? A ± £tk*k - £($* ± ř»>*i (4 = 1, 2, . . n) 



(2) (2^e ft ) (27|'^) = ShgifikOk* (h h = í\2,..n) 

 les prodúits e h e k eux-mémes étant definis par n 2 équations 



(3) Ví = «£>«, + «£>«, + ..+<«„. 



Ici les íi 3 quantités ordinaires a%) sont supposées telles qu'on ait 



(4) (e h e k )ěi = e h {e k e^ (h, k, i=z 1, 2, . . w)- 



Désignons par E 1? E 2 , ♦ . , E n w matrices quelconques ďordre n. 

 il est évident que ces matrices vérifieront les égalités (1), (2) et (4), 

 si on les y met á la pláce de e x , e 2 , . . e n . Si donc on parvient a 

 choisir ces matrices de telle sortě qďelles satisfassent aux n 2 équations 

 (3), on aura réalisé le systéme des quantités complexes donné, en 

 prenant ces n matrices pour les unités principales e l , . . e n . 



Or je dis qu'on satisfait aux relations (3) en posant 



a {h) a (h) (Mi) 



"li » ""21' * * ni 



E h — a^ # «<*> 



a *), a?) . . aW 



ln " 2w" nn 



Pour le démontrer remarquons ďabord que les égalités (4) com- 

 portent des relations entre les coefficients «w qu'il est aisé de for- 

 muler. En effet, si ťon réduit, a 1'aide de (3), les deux prodúits 

 (e h e h )ei et e h (e k ei) a des expressions linéaires en e„ e 2 . . e n , et si 

 l'on égale dans ces expressions les coefficients de e g , on trouve 



n n 



(6) S^^^X"^ (*,*,«,* = 1,2, -•»). 



V=l V=l 



D'autre part, si l'on designe par p gi 1'élément qui, dans la matrice 

 E/íEa; se trouve dans la g iéme ligne et dans la i iéme colonne, on a 



v . = a!*) «(*) + . . . 4- at*) «<*> 



J- gi il \g l l im «<7° 



Maintenant formons la matrice 



< 1 )E 1 +««E 3 + .. + <)E K , 



