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J'ai fait application de votre analyse aux polynómes de Legendre^ 

 et je suis arrivé a un résultat qui peut-étre vous intéressera. 



Vous savez que le développement 



(1 — 2ax + «'0"' = 1 + Z,a -f . . . + Xna^ + . . . 



définit les polynómes X,, X^^ etc. de Legend re et que trois poly- 

 nómes successifs satisfont a Féquation 



O, 







(»+l)Z„+i- 



-(2n 



+ i)£cz„ + «3r„_ 



-i=:=0 



qui donne 



















+i)- 



-ř+ 



nj ' Xn-^i ' Xn 



Xn 

 ■Xii+i 



et pal- 



con 



séquent 



v 







ci) 







Um ^ 



■n 



= £(;+ Víc^ — l. 





II faut maintenant voir quand on doit employer le signe + ou 

 le signe — . 



Le rayon de convergence áe la série proposée est le module 

 de la quantité 



Um ^ 



^w-fl 



D'un autre cóté, la méme série est convergente a Tintérieur ďun 

 cercle dans lequel la fonction (1 — 2ax -{- a^)"'^^ n'a pas des points 

 singuliers, c'est á dire dans un cercle dont le rayon est le plus petit 

 des modules des valeurs de a qui satisfont á Téquation 



«^ — 2íCfl: + 1 =: O 



qui donne 



azz:x-\- \[x^ — 1. 



j^ 



Done la fonction Um -~— représente x -\- \/x'^ — 1 dans la 



region du pian oú \x -[- \{x^ — 1 | <; | a? — \[x''' — 1 1 et représente 

 X — \fx'^ — 1 dans la region du pian oú arrive le coutraire. 

 Veuillez agréer, etc. 



Porto, le 18. décembre 1885. 



