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Endlich sei auf folgenden bekannten Satz hingewiesen : „Die 

 Centralaxe wird von allen Linien kiirzester Entfernung 

 zweier conjugirten Kráfte rechtwinklig geschnitten." 

 (Culmann „Grapliische Statik" 1875, pag. 258.) Die in der Fig. 2a 

 uud 2b durchgefuhrten Constructionen werden nach dem vorgetragenen 

 leiclit verstándlich. 



Ersetzen wir vorerst unser Kráftepaar Pj , P^ durch ein anderes 

 Q,, Qo^ dessen conjugirte Einzelnkráfte Qj und Q^ zu einander sen- 

 krecht stehen. Nehmen wir an, dass Q^, beispielsweise parallel zur 

 zweiten Projectionsebene, Q^ normál hiezu liegen soli. 



Solcher Kráftepaare Q^ Q^, die den letzten Bedingungen ent- 

 sprechen, giebt es oo^. Schneiden wir durch eine zur zweiten Pro- 

 jectionsebene parallele Ebene E die Kichtungslinie a von P, im 

 Punkte m und die Kichtungslinie b von Pg im Punkte n^ zerlegen 

 Pl und P2, jede hievon in eine in die Ebene E fallende Componente 

 und in eine hiezu senkrechte Componente, so entsteht durch die Ver- 

 einigung der in die Ebene E fallenden Componenten die Kraft Q,, 

 durch die Vereinigung der zur Ebene E senkrechten Componenten 

 die Kraft Q^. — Da sich solcher Ebenen E eine einfach unendliche 

 Anzahl legen lásst, so giebt es go^ solcher Kráftepaare, deren Rich- 

 tungslinien eine merkwúrdig einfache geometrische Lage besitzen, auf 

 deren Untersuchung einzugehen, wegen der weiteren Schliisse von 

 geometrischem Interesse ist. 



Verschieben wir die Ebene E parallel zu sich selbst, so geben 

 die Verbindungsgeraden der in derselben Ebene E liegenden Punkte 

 w und n die Erzeugenden eines windschiefen Paraboloids, 

 welches durch die Leitstralen a und h und die zweite Pro- 

 jectionsebene als Richtebene bestimmt ist. 



Volumen eines iiber zwei Strecken m und n als Gegenkanten verzeichneten 

 Tetraeders, so ist nach M o b i u s allgemein : Vol [ona] -j-Vol [onh] r= Vol [ina ]-\- 

 -\- [mjS], wo m eine beliebige Kaumstrecke bedeutet. — Úbergeht m succe- 

 sive in die Strecken a, b, a, /?, so resultiren die Gleichungen : 



Vol [aal -I- Vol [«&] = Vol [aa] + Vol [a/?] 



Vol [66] + Vol [ha] — Vol [ha] + Vol [6/5] 



Vol [cca] -f- Vol [cc§] — Vol [cca] + Vol" [ech] 



Vol [m + Vol [^«] - Vol Wa] + Vol [/?6J 

 Da die Grossen Vol [aa], Vol [66], Vol [cca], Vol [/?/?] als Null verschwinden, 

 so folgt der Satz von Chasles als Corollar des Móbius'schen 

 Satzes in derForm: Vol [a6] = Vol [a/?], dennjede der Grossen ist gleich 

 Vol [acc] + Vol [gjg] -f Vol [hec] + Vol [6/g] 

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