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Hauptpunkte M' und die L i s t i ri g'schen Knotenpunkte 

 M', welche so liegen, dass 



fh —fl<! und W ~ kk ist. 



Die durch die genannten Punkte gehenden auf der Axe des 

 Systems senkrechten Ebenen heissen beztiglich Brenn-Haupt- und 

 Knotenebenen, welche wir mit den entsprechenden grossen Buch- 

 staben bezeichnen ; ferner wollen wir uns nicht auf die Umgebung 

 der Axe allein beschranken, sondern die durch die Listing'sche 

 Construction bestimmte Verwandtschaft uneingeschránkt gelten lassen. 



Das Bild ď eiues Punktes a wird bekanntlich in folgender 

 Weise abgeleitet : Man fállt die Senkrechte aa^ auf die Ebene R und 

 verbindet den Fusspunkt a^ mit dem Brennpunkte /"; ferner a mit 

 dem Knotenpunkte k und zieht zu dieser Verbindungslinie eine Pa- 

 rallele durch 7ť; diese Parallele muss a^f in dem gesuchten Punkte 

 ď schneiden, weil alle angefilhrten Geraden in der durch a und die 

 Axe bestimmten Ebene liegen. 



Daraus folgern wir zunáchst, dass in der in Kede stehenden 

 Beziehung jede durch die Axe gehende Ebene, daher auch die Axe 

 sich selbst entspricht. Da ferner alle durch die Axe gehenden 

 Ebenen gegen die Fundamental-Punkte und Ebenen dieselbe Lage 

 haben, so schliessen wir, dass wir alle Constructionen nur in der 

 Zeichenebene auszufuhren brauchen. 



Legen wir durch a eine beliebige Ebene E^ so entsteht die 

 Frage, was der Ort der Punkte ist, die den Punkten derselben ent- 

 sprechen. Das Páral lei- Strahlenbiindel aa^ ist zu dem Strahlenbiindel 

 //% perspectivisch, weil sich die entsprechenden Strahlen auf der 

 Ebene H' schneiden ; das Parallelstrahlenbiíndel aa, ist aber auch zu 

 dem Strahlenbiindel ka perspectivisch, weil sich die entsprechenden 

 Strahlen in der Ebene E schneiden, daher sind die Strahlenbiindel 

 ka und fa^ projectivisch. Endlich sind die Strahlenbiindel k'ď und 

 ka congruent, weil ihre entsprechenden Strahlen parallel laufen ; daher 

 sind auch die Strahlenbiindel fď und k^ď projectivisch; da aber 

 jede durch die Verbindungslinie der Scheitel /' und k' dieser Biindel 

 gehende Ebene nach Obigem sich selbst entspricht, so sind diese 

 Biindel perspectivisch*) ; daher ist das Erzeugnis derselben eine Ebene E. 



Die Verwandtschaft ist demnach so beschaffen. 

 dass jeder Ebene E wieder eine Ebene E\ somit einer 



*) Reye, Geometrie der Lage 1880 Bd. II. p. 16. 



