424 



Prvý důkaz této a jiné obecnější mnohem věty podal prvý 

 Eisenstein"^)^ zde ale stůjž kratší důkaz Weierstrassův, 



Poněvadž oj, co' nejsou v reálném poměru, bude lze sestrojiti 

 rovnoběžník, jehož vrcholy jsou O, o), o -f- 0% o', a celou rovinu roz- 

 děliti v rovnoběžníky s ním shodné o vrcholech mo-^nď. 



Prodlužme strany (to, ca 4- <»')í (^'^ (x>-\-ď) a vyšetřme, která 

 z nich je bodu O blíže; budiž to první z nich, a vzdálenost příslušná 

 buď í^; v případě opačném bychom změnili označení hodnot co, co', 

 píšíce (co', co) místo (co, co'). Jsouli přímky ty od bodu O stejně vzdá- 

 leny, nezmění se na věci ničeho. 



Jelikož členové součtu (y) jsou veličiny kladné, můžeme je uvésti 

 v libovolný pořádek, aniž tím hodnotu součtu, jeli konečná, změníme. 

 Eozdělme je v skupiny, jichž součty buďte S^^ S^^ S^ ^ . , . aS^, . . . , kde 

 S^ obsahuje Členy, v nichž hodnoty mco -f- nď jsou representovány 

 body položenými vesměs na obvodu rovnoběžníka o vrcholech 

 ±vo±vG)'; nejkratší vzdálenost obvodu tohoto rovnoběžníku od 

 bodu O je patrně vá; počet bodů sem příslušných jest 8v^ a pro 



všechny platí |mco-|- tico' |^di/, takže bude S^<:,-^ — ^zz-^.-Y, 



a tedy 



^1 + ^2 + ^3 + • • • +^v + - • • < -^ I ^-+"22 + 32 + • • + ^ + • • •) 



kterážto řada konverguje, a tedy též řada (y). 



. Odtud odvodíme bezpodmínečnost konvergence řady ((E'). 

 Je totiž 



r- 



1 V"' 1 1 



\u — mco — ?zco'|* ^— ' 



I — 



mco -(- nď 



^ ' \ma)-^n(o^\ 



/m,wz=:0,±l,±2, ...• 

 \m zz O, í^ = O vyloučeno 



Veličiny 1 ; 7 patrně nepřevýší určitou stálou veli- 



•^ I mco -|- nď\ r j 



Činu ilf, takže bude 



yr^' 1 V"^' 1 



^mm^ \u — mm — 'n.úV\ ^ * ^^ Imco 4- WCO'P ' 



m. n \ I I 



*) Genaue Untersuchung der unendliclien Doppelproducte, aus welchen dle 

 elliptischen Fiinctionen als Quotienten zusammengesetzt sind (Mathem. Ab- 

 handliingen v. Dr. G. Eisenstein, p* 213). 



