452 



Chaque telle conique des centres passe, comme on sait, par 

 les points diagonaux du quadrangle complet stud^. Quand le point 

 d^ parcourt la droite S^^ Tun de ces points a est fixe, parce qu'il 

 est le point de rencontre des droites fixes tu^ sd^. II s'ensuit que 

 les coniques des centres forment un faisceau ayant quatre points fon- 

 damentaux. Le second faisceau possěde en le point ďintersection 

 des droites S^, tu on b le quatriěme point fondamental. 



4. Nous allons maintenant déterminer Tordre de la courbe (S) 

 engendrée par ces deux faisceaux de coniques des centres. 



Par un point arbitraire d^ de la droite S^ passent n tangentes 

 á la courbe <?, qui rencontrent la droite S^ en n points d^^ et réci- 

 proquement a un point d^ de ^2 correspondent n points d^ de S^. 

 De lá suit que á une conique des centres ďun des faisceaux cor- 

 respondent n coniques de Fautre faisceau. 



On trouve aisément qu'il y b, n coniques du faisceau (6) qui 

 touchent une conique du faisceau (a) en cbacun des points fonda- 

 mentaux x, y^ z; et inversement. Ces points sont, par conséquent, 

 multiples ďordre 2n sur la courbe cherchée (2?); de plus, les points 

 a, h sont multiples ďordre n sur cette courbe. 



Une conique arbitraire du faisceau (a) rencontre donc les n co- 

 niques correspondantes du faisceau (h) en In et puis en n points. 

 Nous obtenons ainsi sur chaque conique ďun de ces faisceaux 8n 

 points de la courbe (S) qui est par conséquent ďordre án. 

 Donc 



Le lieu des centres des coniques (D) est une courbe 

 du 4n^^^^ ordre, ayant trois points multiples ďordre 2n 

 et deux points multiples ďordre w. 



5. Ainsi préparés, nous pouvons déterminer le nombre de co- 

 niques (i>), qui passent par un point arbitraire p du pian. Consi- 

 dérons ce point comme le quatriěme point fondamental ďun faisceau 

 de coniques qui passent par les points s, t, u. Le lieu des centres 

 de ce faisceau est une conique qui passe par les points x, y, z et 

 rencontre y la courbe {E). Nous obtenons ainsi Qn points ďinter- 

 section de ces deux courbes. Elles se rencontrent donc encore en 

 2n autres points qui sont les centres des coniques du faisceau, qui 

 passent par lé point p. 



II s'ensuit que 



Le faisceau (D) de coniques est du 2n'^'^^ indice. 



6. Quand la courbe 6 est de la premiére classe, c'est-á-dire un 

 faisceau de droites passant par le point p, la courbe {S) est du 

 quatriěme ordre et le faisceau (Z)) est du deuxiěme indice. 



