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Wir gelangen zu diesen Fláchen auf folgende Weise: 



Benken wir uns eines der drei ráumliclien Vierecke, von denen 

 jedeš durch zwei Paare Gegenkanten des Haupttetraeders gebildet ist, 

 z. B. das Viereck A^A^A^A^ , imd aiisserdem ein Paar reciproker 

 Pole P und Pj. Durch einen von diesen Punkten, z. B. durch Pj, 

 construieren wir zwei Geraden, von denen jede die zwei Gegenkanten 

 jenes Viereckes schneidet. Die durch diese zwei Transversalen be- 

 stimmte Ebene 7t ist Polarebene des Punktes P beztiglich einer 

 bestimmten Fláche G^ des Biindels.-^) 



Es lásst sich nun beweisen, dass man den reciproken Pol Q^ 

 zu jedem beliebigen Punkte Q bekommt, wenn man die Polarebene 

 des Punktes Q bezuglich G^ construiert und die Verbindungslinien 

 der Punkte, in welchen jene Polarebene die Gegenkanten des Vier- 

 eckes A^A^A^A^ schneidet, zum Durchschnitte bringt. 



Denkt man sich námlich, dass sich der Punkt P auf der Geraden 

 PQ ^ q bewegt und fílhrt man fíir jede seine Lage die eben beschrie- 

 bene Construction durch, so bekommt man eine durch P^ und durch 

 die Hauptpunkte gehende Curve dritter Ordnung Jc^, welche der Ge- 

 raden q durch jene Construction entspricht, und zwar erscheint diese 

 k^ als ein Theil des Durchschnittes zweier Fláchen zweiter Ordnung, 

 dessen iibriger Theil von der reciproken Polare q' der Geraden q in Be- 

 zug auf G^ gebildet wird. Die Gerade q' ist demnach eine Sehne der 7c^. 



Anderseits sind den Punkten der Geraden q bezuglich aller 

 Fláchen des Bundels, also auch bezuglich der G^ die Punkte einer 

 Curve Jc^^ conjugiert, die auch durch den Punkt P^ und durch alle 

 Eckpunkte des Haupttetraeders geht. Man kann sie als Erzeugnis 

 dreier projectivischen Biischel von Polarebenen betrachten, von denen 

 einer aus den Polarebenen aller Punkte der Geraden q in Bezug auf 

 G^ besteht. Alle diese Ebenen gehen durch die Gerade q' und diese 

 Gerade ist folglich auch eine Sehne der Curve k^\ Weil aber durch 

 5 Punkte (in diesem Falle A^^ A^^ A^^ A^ und PJ nur eine Curve 

 3ter Ordnung moglich ist, die eine beliebige^Gerade zur Sehne hat,^*) 

 so sind die Curven k^ und k^^ identisch. 



*) Vergl.: Geiser „Zur Theorie der Fláchen zweiten imd dritten Grades" 

 Cr. J. 69. 



**) Dieser Satz folgt durch die Transf. (A) aus dem Satze : i Durch einen beHe- 

 bigen Punkt geht nur eine Sehne einer Raumcurve Ster Ordnung. (Vergl. 

 XIIL, 2a und 26). 



