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diesem Falle durch die Transformation (A) sicli selbst. Fur jede Gerade 

 von i^2 bekommt man eine solche Fláche A^. 



Aus den in IV. abgeleiteten Eigenschaften der Doppelaxen t 

 folgt, dass jede von den sich selbst entspreclienden Flachen A^, die 

 man fiir die Geraden einer Schaar von F^ bekommt, durch vier von 

 den Punkten T geht. 



Weil jede von diesen Flachen ausserdem alle Hauptpunkte ent- 

 hált, so gilt der Satz: 



Alle Flachen A^^ die zu den Geraden einer Schaar 

 der F2 gehoren, liegen in einem Biindel, dessen Grund- 

 punkte die vier Hauptpunkte und ausserdem diejenigen 

 vier von den Punkten T sind, deren gegenseitige Lage 

 in IV., 2. angegeben ist. 



Fiir die Geraden der zweiten Schaar von F^ gehen die Flachen 

 A^ durch die vier Hauptpunkte und durch die vier ubrigen Punkte T."^) 



Man kann die Fláche A^ fiir eine beliebige Gerade a der F^ 

 folgendermassen construieren : 



Sei M ein beliebiger Punkt der Geraden a. Durch diesen Punkt 

 gehen zwei Axen der F^^ die sie in M berilhren. Man bekommt sie, 

 indem man die Winkel, welche die Gerade a mit der durch M ge- 

 henden Geraden der zweiten Schaar von F^ bildet, halbiert. Verbindet 

 man die Pole dieser zwei Axen, so bekommt man eine Gerade 6, 

 welche der Fláche A^ angehort. Denn sie hat mit ihr drei Punkte 

 gemein: jene zwei Pole und den Punkt ah. Wiederholt man dieselbe 

 Construction fiir alle Punkte der Geraden a, so bekommt man eine 

 Regelschaar der Fláche A^, 



In der Ebene (a5), welche die Fláche A^ im Punkte ah beriihrt, 

 liegen alle Axen der F^^ welche ihre Pole auf der Geraden b haben, 

 folglich auch die Normále der F^ im Punkte ah, Daraus ersieht man 

 dass die Fláche A^ die gegebene Fláche F^ in allen Punkten der 

 Geraden a rechtwinklig schneidet. 



*) Es ist niclit scli-wer zu. beweisen, dass jede durch die Transformation (A) 

 sich selbst entsprechende Fláche zweiter Ordnung, welche keinen der Haupt- 

 punkte zum Doppelpunkte hat, durch alle diese Hauptpunkte (HI) nud 

 ausserdem durch vier von den Punkten T, deren gegenseitige Lage im IV., 

 2. angegeben ist, gehen muss. Und umgekehrt entspricht jede Fláche II. Ord- 

 nung, die diesen Bedingungen geniigt, durch die Transf. (A) sich selbsť 

 Alle sich selbst entsprechenden Flachen zweiter Ordnung, die keinen der 

 Hauptpunkte zum Doppelpunkte haben, bilden folglich zwei Biindel. 



