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Die Polare B^ von A^ in Bezug auf F^ ist eiii hyperbolisches 

 Paraboloid, auf welchem die reciproken Polaren aller Geraden 6, d. li. 

 die Normalen der F^ lángs a liegen. Dieses Normalenparaboloid ent- 

 spridit sicli selbst durch die Transformation (B). 



Aus der friiher abgeleiteten Eigenschaft der Flaclien A^ folgt: 

 Alle Normalenparaboloide einer Eegelfláclie 11. Ordn. 

 lángs aller ihren Geraden einer Schaar liegen in einer 

 Schaar-Schaar von Fláchen zweiter Classe, deren Grund- 

 ebenen die vierHauptebenen und vierbestimmtevon 

 den acht Ebenen t (IV., 1.) sind. 



Die Fláchen A^ und B^^ die zu derselben Geraden a gehoren, 

 beriihren sich lángs dieser Geraden.'''') 



VIII. 



1. Unter den durch die Transformation (A) sich selbst entspre- 

 chenden Fláchen ist die Fláche F^ besonders hervorzuheben , auf 

 welcher die Pole aller Axen liegen, die die gegebene F^ beriihren. 



Durch jeden Punkt der F^ gehen zwei solche Axen, námlich 

 die Tangenten der beiden Hauptnormalschnitte der F^ in diesem 

 Punkte. Weil jede von diesen Tangenten reciproké Polare der anderen 

 ist, so bilden sie ein Paar reciproker Axen und ihre Pole sind reci- 

 proké Pole. Die Fláche, auf welcher die Pole aller solchen Axen 

 liegen, entspricht folglich durch die Transformation (A) sich selbst. 



Wir beweisen nun, dass sie von der vierten Ordnung ist. 



Zu diesem Zwecke denken wir uns eine beliebige Gerade a 

 und alle Axen, die ihre Pole auf a haben. Diese Axen bilden die 

 Regelschaar eines hyperb. Paraboloides, welches die Fláche F^ in 

 einer Curve vierter Ordnung c^ schueidet, die die Gerade a zur Sehne 

 hat. Aus dem letzten Umstande folgt, dass ausser den zwei Tangenten 

 der C4 in den zwei Punkten ac^ nur noch vier Tangenten jener Curve 

 die Gerade a schneiden konnen und diese vier Tangenten sind die 

 einzigen Axen der F^^ die diese Fláche beriihren und deren Pole auf 

 a liegen. Die Fláche F^ kanu somit von einer beliebigen Geraden 

 hochstens in vier Punkten geschnitten werden, d. h. sie ist von der 

 vierten Ordnung. 



*) Einige von den in den Abschn. II., III., IV., VII. und namenthcli in VI. mit 

 Hilfe der reciproken Pole abgeleiteten Resultaten hábe ich schon bei den 

 in der Einleitung erwáhnten Úbiingen mitgetlieilt. 



