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(A -f- ^ J {A + Q^) - -^, folglich ist 



also allgemein 



X, = ^^^^^^--^ etc. und X, = ^^^ ^'^-^ etc. 



(,) x_ j , r- -^ , z_ ^ 



Eliminiert man nun aus den Gleichungen («), (d) und (e) die 

 Grossen cc', ?/', s' und (>, so bekommt man die gesuclite Gleichung.*) 

 Beiláufig ergeben sich nocli die Beziehungen 



rv>f^ q.r^ r/^ 



y Y Y Y 'L 7 7 



^1^2 2' ^1^2 ^2 5 ^1^2 2 * 



IX. 



Aus den Gleichungen (e) in VIII. gelit die bekannte Eigenschaft 

 hervor, dass der Hauptkriimmungsmittelpunkt íT, der dem Werte q^ 

 entspricht, Pol der Berúhrungsebene der F^ im Punkte A in Bezug 

 auf die mit F^ confocale Flache F^ 



A-\-^^ ^ B + Q, ' C+Q, 



zn D ist. 



Sowohl diese Eigenschaft, als auch die Sátze von Lamé und 

 Bert r and uber die gegenseitige Abhángigkeit der Hauptkriimmungs- 

 radien dreier confocalen Fláchen in ihrem gemeinschaftlichen Punkte, 

 kann man folgendermassen synthetisch beweisen. 



Denken wir uns alle drei durch den Punkt A gehenden confo- 

 calen Fláchen F^, F^' und i^/' und ihre Normalen n, n' und 7i'' in 

 diesem Punkte. Je zwei von ihnen sind Tangenten der Krummungs- 

 linien einer von den drei Fláchen im Punkte A. Construieren wir weiter 

 die sechs Normalen jener drei Fláchen in den drei zum Punkte A 

 benachbarten Punkten der drei Kriimmungslinien, so wird jede der 

 Normalen w, n' und n'' von zweien jener sechs Normalen geschnitten in 

 den Hauptkriimmungsmittelpunkten H^ und H^ , resp. E^' und B'^ 

 ÍF' und H^'' der Fláchen F^, F^' und F^' im Punkte A, 



*) Vergl: Salmon-Fiedler „Anal. Geom. des Raumeg" I. Theil 



