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37. 

 Contributions á la théorie des fonctions. 



Par M. Lerch. Lu dans la seance du 15. octobre 1886. 



Dans le tome 79 du Journal filr die reine und ange- 

 wandte Maťhematik^ Mr. Du Bois-Reymond a publié Fextrait ďune 

 lettre de mon illustre maitre Mr. Weiei^strass se rapportant á une 

 remarquable série trigonométrique qui représente une fonction continue 

 ďune variable réelle,*) fonction qui n'a point de dérivée déterminée 

 quelle que soit la valeur de la variable. 



Dans ce qui suit je donne deux fonctions bien simples jouissant 

 de la propriété de n'avoir pas une dérivée déterminée pour certaines 

 valeurs de la variable qui se présentent dans chaque intervalle en 

 nombre infini, propriété analogue a celle dont jouissent les fonctions 

 construites par Hankel'^'^) au moyen de son principe de condensation 

 des singularités^ et j'y ajoute la démonstration ďune propriété des 

 transcendantes elliptiques et de quelques au třes. 



1. La premiére fonction, dont je vais m'occuper, est donnée par 

 la série 



nzzo 



convergente pour toutes les valeurs réelles de x. Je démontre ďabord 

 que cette fonction n'a pas une dérivée déterminée pour a? =: O, c'est 



á dire que le quotient '^ -^^ ne se rapproche ďaucune limite 



oc 



déterminée, si Ton y fait x décroitre indéfiniment. 

 Car on a 



(2) 



/W — /(O) _ y^ 1 — ^Qg 2"^a; 



X AmmÁ X 



nzzO 



^^T^i sin"^ 2"~~' Ttx 



*> 



^) Cette fonction a été 1'objet ďune recherclie géométrique et anály tique de 

 Mr. Chr. Wiener dans le měme Journal t. 90. 



La lettre de Mr. Weierstrass se trouve aussi dans son excellent 

 livre Ahliandlungen aus der Functionenlehre, p. 97. 

 **) V. les Mathematische Annalen, t. 20, p. 63. 



