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gp cos — r- -\-n! h\7t _«_ , , 



n=0 n—q^-{-l 



ďoů Fon calcule 



f(x, + h)-f(x,) _ 



=2 



— \-n!h\ 7t — cos 



q-' I ql 



n!h 



n~0 



00 



+T. 



cos n ! 7th — 1 



ímJ n! 



Quand on fait h décroitre indéfiniment, la premiére somme 

 s'approche ďune limite finie et déterminée tandis que la seconde 

 devient indéterminée comme nous Favons vu auparavant, de sortě 

 que la fonction f(x) donnée par la série (5) n'a jamais une dérivée, 



si Fon prend pour x une valeur de la formě — ^, a et q étant deux 



nombres entiers impairs. On voit que Fensemble des points corres- 

 pondants aux valeurs de cette formě est condensé dans tout Fin- 

 tervalle. 



5. De ce que nous avons démontré sur les séries (1) et (5) il 

 résulte immédiatement que les deux fonctions analytiques suivantes 



4>(^) = £|/":^^ + ^2^/ + / + ^l« + /2^...., 



n— O 

 nz:l 



n'existent que pour les valeurs réelles ou imaginaires de z ďun mo- 

 dule inférieur á Funité, c'est á dire représentées par les points 

 a Fintérieur du cercle fondamental dont Féquation est | s | zz: 1, et 

 que ces fonctions ne peuvent pas étre continuées en dehors de ce 

 cercle. 



Des fonctions de la méme nature se rencontrent dans la théorie 

 des fonctions elliptiques. 



La série fondamentale de Jacobi 



viz: — 00 v:zz — oo 



