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n'est convergente que si le module de q est moindre que Tunité 

 quelque soit la valeur de u. 



Je dis que si Fon prend pour u une valeur fixe, la série (1) 

 devient une fonction de q ne pouvant pas étre continuée au děla du 

 cercle fondamental |^|^1. 



Prenons ďabord pour u une valeur essentiellement imaginaire; 

 la fonction (1) s'annule pour toutes les valeurs de r pour lesquelles 

 on peut déterminer deux nombres entiers m, n tels que 



c'est a dire pour toutes les valeurs de t de la formě 



2u — {2m + 1) 



t zr 



2^+1 



oů Tentier n est assujetti a la condition de rendre positive la partie 

 imaginaire de r, Mais les points representant ces valeurs sont distri- 

 bués dans le demiplan positif (correspondant aux valeurs dont la 

 partie imaginaire est positive) de telle maniére que chaque cercle 

 ayant son centre sur Faxe réel en contient une infinité, de sortě que 

 chaque point de Faxe réel est un point-limite de Fensemble constitué 

 par ces points. Done Faxe réel est une ligne singuliére de la fonction 

 '^00(^1^) considérée par rapport á la variable r, ou ce qui est le 

 méme, la circonférence du cercle fondamental est une ligne singuliére 

 de la fonction 0^^^ (w | r) zn ^^^ (u^ q) considérée par rapport á la 

 variable q^ de sortě que cette fonction ne peut pas étre continuée 

 en dehors dudit cercle, c. qu. f. d. 



Le raisonnement precedent n'est pas appliquable dans le cas oú 

 la valeur fixe de u est réelle. 



Posons u =: (a -\- Pt) u^^ x^:=z T ^ , «, /5, y^ d étant des 



nombres entiers satisfaisant á la condition 



ad — ^y — l, 



et nous aurons, comme on sait,*) la formule 



*) Une démonstration remarquable de cette formule a été donnée par mon 

 illustre maitre Mr. Kronecker dans les Monatsberichte de Berlin, 1880: 

 „Ueber den vierten Gauss'schen Beweis etc." 



