Vergrösserung des Dreieckes ADF, daher, weil die erstere nur ein Theil 

 der letzteren ist, wird das Dreieck AJGr grösser als das Parallelogramm 

 ABHG für jede Zunahme EH der Höhe BE. Daraus lässt sich schliessen, 

 dass wenn die Geraden AY, BZ einander schneiden, so ist das Dreieck 

 AJG, dessen Höhe den doppelten Abstand des Durchschnittpunktes von 

 der Geraden AB überschreitet, stets grösser als das zugehörige Parallelo- 

 gramm von gleicher Höhe mit dem Dreiecke. 



3. Hiemit ist aber nur die Möglichkeit zwischen den Schenkeln eines 

 beliebigen Winkels verzeichneten Dreieckes, welches bei gleicher Höhe 

 mit einem Parallelogramm grösser wäre als das letztere, unter der Vor- 

 aussetzung dargethan, dass die Geraden AZ, BY sich schneiden, oder was 

 einerlei ist, dass die Winkelsumme ZAB j- ABY kleiner sei als zwei 

 rechte Winkel. Um nun den umgekehrten Satz zu beweisen, wenn die 

 Winkelsumme ZAB -|- ABY kleiner ist als zwei rechte Winkel, so ist 

 immer bei hinreichend verlängerten Schenkeln eines Winkels, der inner- 

 halb desselben gelegene Raum grösser als ein zwischen den Parallelen 

 AX, BY errichtetes Parallelogramm, verfahre man so : man übertrage den 

 Winkel XAZ, so oft es angeht, innerhalb des Winkels ZAB, wodurch 

 die Winkel XAZ, ZAP, PAQ, QAR einander gleich werden : ist nun AS 

 der letzte Theilungsstrich innerhalb des Winkels ZAB, so mache man 

 noch den Winkel SAT =: XAZ , hiedurch wird der Winkelraum XAT in 

 mehrere gleiche Theile abgetheilt. Nun übertrage man auf die verlängerte 

 Gerade AB eben so oft die Stücke BC = CD = DE = MN z= AB, und errichte 

 in den Puncten C, D, E, . . M, N Lothe von willkührlicher Länge 

 CG' = DD' = EE' = MM/ = NN'. Sobald man den Schenkeln der glei- 

 chen Winkel eine grössere Länge zutheilt als AN oder die Summe der 

 Breiten sämmtlicher paralleler Streifen, so muss der Winkelraum XAT, 

 welcher grösser ist als der Winkelraum XAN , auch grösser werden als 

 die Summe der parallelen Streifen, mithin ist der aliquote Theil beider 

 Räume, oder der Winkelraum XAZ grösser als der Streifen XABJ. 



4. Aus dem eben Gesagten erhellet sogleich die Richtigkeit des eilften 

 Euklidischen Grundsatzes: so lange nämlich die Geraden AZ, BY sich 

 nicht schneiden, muss jedes Dreieck innerhalb der Schenkel des Winkels 

 XAZ kleiner sein als der Streifen XABY, von welchem jenes nur ein 

 Theil wäre, welches nach (3) unmöglich ist; somit müssen zwei Gerade 

 AZ, BY, deren innere Winkelsumme ZAB -f- ABY zwei rechte Winkel 

 nicht erreicht, hinreichend verlängert stets einander schneiden. 



5. Zur Erläuterung mag die Bemerkung dienen, dass BC (Fig. 2) 

 der Abstand des Durchschnittspunctes C von der Geraden AB die Co- 



