§ 1. 



Die charakteristische Funktion Hamiltons in der Strahlenoptik. 



1. „Der Essay". 



p]s ist nicht mehr ohne weiteres festzustellen, welche genaue Frage- 

 stellung für Hamilton der Anlafs war, seine Untersuchungen zu beginnen. 

 Ganz sicher kann man aber sagen, (lafs es nicht sein Ziel war, die Gestalt 

 der Lichtstrahlen zu bestimmen. Denn in dem Falle gewöhnlicher optischer 

 Mittel, den er zuerst im Auge hat, sind ja die Lichtstrahlen einfach gerade 

 Linien. In dem „Essay" geht sein Bestreben denn auch sogleich dahin, eine 

 zweiparametrige Schar geradliniger Lichtstrahlen, die von einem leuchtenden 

 Punkte ausgesandt wird, als Ganzes durch ein optisches Instrument und 

 zwar zunächst durch ein System von Spiegeln — zu verfolgen und die 

 Eigenschaften eines solchen Strahlensystems zu bestimmen. 



Den Anfang seiner Entdeckungen bildet dabei die Erkenntnis, dafs 

 nicht jede beliebige zweiparametrige Schar von geraden Linien durch wieder- 

 holte Reflexion an geeignet gestalteten Spiegeln aus einem ursprünglich 

 homozentrischen Strahlenbündel erzeugt werden kann, sondern dafs dazu die 

 Schar eine besondere Bedingung erfüllen mufs. Um dies nachzuweisen und 

 zugleich die Bedingung zu gewinnen, denkt er sich eine beliebige zwei- 

 parametrige Geradenschar gegeben und stellt sich die Forderung, für dieses 

 Strahlensystem einen Brenn spie gel zu konstruieren, d. h. einen Spiegel 

 von solcher Gestalt, dafs durch Reflexion an ihm das gegebene Strahlen- 

 system — man hat es als einfallendes System aufzufassen in ein homo- 

 zentrisches Strahlensystem verwandelt wird, d. h. in ein Strahlensystem, bei 

 dem alle Strahlen durch einen Punkt gehen. 



Sind a, ß, 7 die Richtungskosinus eines einfallenden, a', ß', y' die des 

 zugehörigen reflektierten Strahles, so findet das Reflexionsgesetz seinen 

 Ansatz in der Beziehung 



(1) (a + a') dx + (ß + ß') dy + (/ + /') dz = 0, 



die im Einfallspunkte für jede Fortschreitungsrichtung dx, dy, dz, auf dem 

 Spiegel erfüllt sein mufs. I )a nun a, ß, y und a', ß', y' Funktionen von x, y, : 



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