III 



Georg Prange, 



sind, so stellt (1) eine lineare totale Differentialgleichung in den drei Ver- 

 änderlichen x t 'y, z vor. Sie mufs von den Koordinaten der Punkte (x, y, z) 

 des Brennspiegels erfüllt werden, kann also als eine Bestimmungsgleichung; 

 für den gesuchten Brennspiegel angesehen werden. 



Die erste Frage wird dann sein, ob die Gleichung (1) vollständig 

 integrabel ist, da sie nur dann eine Fläche als Lösung haben kann, wie 

 es doch sein mnfs, wenn es einen Brennspiegel geben soll. Für die Auf- 

 stellung- der Integrabilitätsbedingüng geht Hamilton davon aus, dafs alle 

 Strahlen des reflektierten Systems sich in einem Funkte treffen, dafs also 



et' dx + ß' dy -f- y' dz 



ein vollständiges Differential ist, nämlich gleich dg, wenn q die Entfernung 

 des Einfallspunktes auf dem Spiegel von dem festen Punkte ist, durch den 

 alle Strahlen des reflektierten Systems hindurchlaufen. Die Integrabilitäts- 

 bedingung von (1) wird dann, wie man leicht erkennt, gleich bedeutend mit 

 der Bedingung, dafs auch der andere Teil der linken Seite von (1), nämlich 



(2) a dx + ß dy + y dz 



ein vollständiges Differential wird. Nur wenn die vorgelegte zweiparametrige 

 Geradenschar diese Bedingungen erfüllt, läfst sich zu ihr ein Brennspiegel 

 konstruieren. 



Fassen wir umgekehrt jetzt das homozentrische Strahlensystem als 

 einfallendes System bei der Spiegelung auf, so folgt, dafs ein homozentrisches 

 Strahlensystem durch eine Reflexion nur in ein solches Strahlensystem über- 

 geführt werden kann, für das der Ausdruck (2) ein vollständiges Differential 

 ist. Diese Eigenschaft kann das Strahlensystem aber auch durch weitere 

 Spiegelungen nicht verlieren; denn auf dem einzelnen Spiegel besteht immer 

 eine Bedingung- von der Gestalt (1), d. Ii. man hat eine lineare totale 

 Differentialgleichung, die die Spiegelfläche als Lösung besitzt und also voll- 

 ständig integrabel ist. Da nun für das einfallende Strahlensystem, wie wir 

 eben zunächst für den zweiten von den Strahlen getroffenen Spiegel fest- 

 stellten, der Ausdruck der Gestalt (2) ein vollständiges Differential ist, so 

 mufs das Gleiche auch von dem reflektierten System gelten. Der Ausdruck (2) 

 mufs daher dauernd ein exaktes Differential sein. Jedem Strahlensystem 

 gehört somit eine Funktion 



(3) V {x, y,z) = J\adx+ ß d !f + y dz) 

 zu. 



Dieses Ergebnis läfst sich aufserordentlich anschaulich geometrisch 

 deuten. Die Funktion V liefert nämlich in dem Strahlensystem eine ein- 



