W. H. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 



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paranietrige Schar von Flächen V = Const. und diese Flächen müssen, da 

 auf ihnen 



(3 a) d V = a dx -\- ß dy + y dz = 



gilt, alle Strahlen des Systems senkrecht schneiden. Für zwei beliebige 

 dieser Orthogonalflächen V(x,y,z) = V 1 und V (x, y, z) = V 2 haben wir 

 ferner die Beziehung 



(3 b) V-> — V x = J (o dx + ß dy + y de) — Const., 



wo das Integral über eine beliebige Kurve erstreckt werden kann, die einen 

 Punkt der ersten Fläche mit einem Punkt der zweiten verbindet. Wählt 

 man als solchen Integrationsweg einen Lichtstrahl, so ist der Wert des 

 Integrals in (Hb) offenbar gleich der Länge des Stücks dieses Strahls, das 

 von den beiden Flächen V == \\ und V — F 2 abgeschnitten wird. Also 

 schneiden irgend zwei Flächen der Schar V (x, y, z) == C auf allen Licht- 

 strahlen des Strahlensystems Stücke von gleicher Länge ab. 



Ist eine der Flächen V (x, //, z) = C gegeben, so ist damit auch das 

 ganze Strahlensystem bekannt; denn es besteht einfach aus den Normalen 

 dieser Fläche. Man kann weiter von dieser einen Fläche aus alle Flächen 

 der Schar leicht angeben. Denn man braucht nur auf allen Lichtstrahlen 

 Stücke konstanter Länge abzutragen, dann bilden deren Endpunkte eine 

 Fläche der Schar, die die Lichtstrahlen senkrecht schneidet. 1 ) 



Die Funktion V(x,y,z) wird von Hamilton als charakteristische 

 Funktion des Strahlensystems bezeichnet, weil man aus ihrer analytischen 

 Gestalt alle geometrischen Eigenschaften des Strahlensystems herauslesen 



l ) Wie völlig der Inhalt der Hamiltonscheu Arbeiten zur Strahlenoptik in Ver- 

 gessenheit geraten ist, erkennt man z. B. daran, dafs eine ähnliche Aufgabe wie die Hamiltonsche 

 Brennspiegelkonstrnktion, nämlich die Aufgabe, ein gegebenes Strahlensystem durch Reflexionen 

 oder Brechungen in ein vorgeschriebenes anderes System überzuführen, noch 1900 von T. Levi- 

 Civita in zwei Noten in den Rendiconti della accad. dei lincei (5), Bd. 9 h S. 185 — 189, 237 — 245, 

 behandelt ist. Er kommt natürlich auch zu dem Hamiltonschen Ergebnis, dafs zwei Strahlen- 

 systeme mit Orthogonalflächen immer durch eine Spiegelung oder Brechung — wir wollen 

 dafür allgemein Knickung sagen — ineinander übergeführt werden können, wobei man für 

 die knickende Fläche einen Punkt beliebig vorgeben, d. h. beliebig zwei Strahlen der beideu 

 Systeme, die sich in einem Punkte treffen, einander zuordnen kann. Auch das Verhältnis 

 der Brechnngsindizes kann man noch beliebig vorschreiben. 



Sind zwei beliebige Geradenscharen ohne Orthogonalflächen gegeben, so kann man 

 mit zwei Knickungen die eine in die andere überführen. Dabei besteht bei der Durchführung 

 noch soviel Willkürlichkeit, dafs man in jeder der beiden Scharen eine Regelfläche beliebig 

 herausgreifen und fordern kann, dafs deren Erzeugende in vorgeschriebener Zusammenordnung 

 ineinander übergehen. 



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