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Georg Prange, 



kann. Man erhält in jedem Punkt (x, y, z) des Kaunies die Richtungskosinus 

 <■, ;, y des ^durchlaufenden Strahls durch die partiellen Ableitungen von V 



1 BV dV dV 



(4) a = - , ß. == , y == — . 



ox jpy cz 



Wenn man in diesen Beziehungen umgekehrt den «, ß, y konstante Werte 

 gibt und die x, y, z als Veränderliche auffafst, so stellen sie die Gleichungen 

 des einzelnen Strahls vor, und zwar sind es zwei unabhängige Gleichungen, 

 weil ja zwischen den partiellen Ableitungen die Beziehung 



d x I \dy j \8 z 



besteht, Dafs die charakteristische Funktion V (x, y, z) einer solchen par- 

 tiellen Differentialgleichung erster Ordnung genügt, ist an sich sehr bedeut- 

 sam. An dieser Stelle freilich merkt es Hamilton vorerst nur beiläufig an. 



Neben der Richtung des einzelnen Lichtstrahls sind für die Optik 

 vor allem die differentialgeometrischen Beziehungen benach- 

 barter Strahlen von Bedeutung, denn der Schnitt benachbarter Strahlen 

 bestimmt das Bild des leuchtenden Punktes, das von dem Spiegelsystem 

 erzeugt werden soll. Da die Lichtstrahlen die Notmalen der Flächen 

 V— Const. sind, so konnte Hamilton bei der Behandlung dieser Frage 

 Anschliffs an die Ergebnisse der geometrischen Forschung über den Schnitt 

 benachbarter Flächen -Normalen nehmen, d. h. also an die Theorie der 

 Krümmung der Flächen, die von Euler begonnen und von Monge fort- 

 gebildet war.') Da die Krümmung einer Fläche durch die zweiten Ab- 

 leitungen der zugehörigen Funktion bestimmt ist, so beherrschen die zweiten 

 Ableitungen der charakteristischen Funktion V die differentialgeometrischen 

 Eigenschaften des Strahlensystems. Übrigens begnügt sich Hamilton nicht 

 damit, die Ergebnisse der Krümmungstheorie einfach zu übernehmen, sondern 

 er hat bei dieser Behandlung der Brenneigenschäften der Normalensysteme 

 die Theorie gleichzeitig weitergeführt, worauf wir später zurückkommen 

 werden. 



Dies ist in ihren Wesenszügen die Auffassung, auf Grund deren 

 Hamilton in dem ausgeführten Teil des „Essays" eine Theorie der optischen 

 Abbildung durch Spiegel gibt. Genau dieselbe Grundlage sollte ihm in 

 dem nicht ausgeführten, nur im Programm skizzierten zweiten Teile des 



l ) Die einschlägigen Arbeiten Dupins kannte Hamilton damals nicht. Auch die 

 lutersuchnngen von Malus über Strahlensysteme wurden ihm, wie er selbst sagt, erst bekannt, 

 als er die Idee der charakteristischen Funktion bereits erfafst hatte. 



