W. R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 



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c Ii ar akter istische Funktion des Strahlensysteros genannt. Die Variation 

 des Integrals (7) gibt für ihr Differential den Ausdruck 



,„ Bv t Bv , . ev , 

 (10) öV = k- öx + d> + a o«. 



aus dem man die Beziehungen 



87 _ Bv BV _ Bv_ BV _ Bv 



(10a) "^'a« '• a# — äß' ~ By 



abliest, die in jedem Punkte x, y, z die partiellen Ableitungen der charakte- 

 ristischen Funktion V mit den Richtungskosinus der Tangente des hindurch- 

 laufenden Lichtstrahls verknüpfen. So einfach wie oben, dafs die Licht- 

 strahlen mit den Normalen der Flächen V == Const. zusammenfallen, liegt 

 die Sache hier freilich nicht mehr. Es ist aber von der gleichen grund- 

 legenden Bedeutung, dafs zwischen den Flächen V = Const. und den Licht- 

 strahltangenten eine solche- feste Beziehung besteht, wie sie in den Formeln 

 (10 a) ausgesprochen ist. Man bezeichnet in der Variationsrechnung diese 

 Beziehung, die übrigens eine naturgemäfse Verallgemeinerung des Senkrechts- 

 stehens ist, 1 ) als Tran sv er sali tät der Lichtstrahlen zu den Flächen 



1 ) Für den Fall der Lichtausbreitnng in homogenen, isotropen Mitteln ist 



(a) v = n [/a 2 + ß- + y\ 

 bezvv. für die Theorie der Spiegel einfach 



(a') ; . ^lÄS+^.f # 



so dafs das Variationsproblem des kürzesten Lichtwegs zu 



(b) f \Je?r + ß* + f äs = J'ds = J'\/dx 1 +llf + W = Extrem, 

 wird. 



Die Extremalen fallen also mit den geraden Linien zusammen und der Wert des 

 längs der Extremale erstreckten Integrals ist gleich dem Abstand der beiden Grenzen im 

 Sinne der gewöhnlichen Euklidischen Mafsgeometrie. Man könnte in den Sätzen der Euklidischen 

 Geometrie statt von „geraden Linien" auch von „Extremalen des Variationsproblems (b)" und 

 statt von der „Entfernung" zweier Punkte auch von dem „Wert des Integrals (b)" sprechen, 

 das über das Extremalenstück, das die Punkte verbindet, zu nehmen ist. Man sagt in diesem 

 Sinne wohl, dafs das Variationsproblem (b) die Euklidische Mafsbestiinmung 

 definiert. 



Im gleichen Sinne kann man nun auch das Variationsproblem (7), wie jedes Variation a- 

 pvoblem, als Definition einer Mafsbestimmu ng ansehen, indem man 



(c) do == v (a, ß, y, x, y, z) ds = v (dx, dy, dz, x, y, z) 



als Länge des Bogenelements auffafst, das an der Stelle (x, //, :) durch die Koordinatcn- 

 iliffercuzen dx, dy, dz bestimmt ist. Setzt man do 7 Const., so erhält man auf jeder vom 



