Georg Prange 



V = Const. Zwei beliebige Flächen V(x,y,z) - ■■ \\ und V (x, y, z) = F 2 aus 

 der Schar der Flächen V = Const., schneiden auf allen Lichtstrahlen Stücke 

 ab, für die das Integral 



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das über den Lichtstrahl von dem Schnittpunkt mit der ersten Fläche bis 

 zu dem mit der zweiten erstreckt wird, immer den gleichen Wert (V. 2 — Fj) hat. 



Punkte (x, y, z) ausstrahlenden Richtung einen Punkt, und alle diese Punkte liegen auf einer 

 Fläche, deren Gleichung durch (c) gegeben ist, wenn man darin x, y, z festhält und dx, dy, dx 

 als laufende Koordinaten auffafst. Diese Fläche gibt ein anschauliches Bild davon, welche 

 Strecke für die verschiedenen Richtungen im Sinne der Mafsbestimmung als „Längeneinheit" 

 zu nehmen ist. Gewöhnlieh pflegt man sie durch Dilatation im Verhältnis do : 1 aus dem 

 Infinitesimalen ins Endliche zu übersetzen und die dilatierte Fläche 



(c') V *,>,.*) = 1, 



wobei t], C, die laufenden Koordinaten sind, als die zum Punkte (x,y,z) gehörige Eich- 

 fläche der Mafsbestimmung zu bezeichnen. Für das besondere Integral (b), dafs auf die 

 Mafsbestimmung der Euklidischen Geometrie führt, ist diese Eichfläche nach (b) 



(c") £ 2 + f + £ = i, 



also eine Kugel, und zwar, da x, y, s hier gar nicht auftreten, für jeden Punkt des Raumes 

 die gleiche Kugel. 



Legt man für die Strahlenoptik die Auffassung der Undulationstheorie zugrunde, so 

 bedeutet die „Bogenlänge" der Mafsbestimmung die Fortpflanzungszeit des Lichtes und die 

 infinitesimale Fläche (c) ist die Wellenfläche, bis zu der sich das Licht, das zu der Zeit 

 t = vom Punkte (x, y, z) ans ausgestrahlt wird, nach Ablauf der Zeit dt = do ausgebreitet 

 hat. Die Eichfläche (c') würde die Wellenfläche sein, die vom Lichte nach Ablauf der Zeit- 

 einheit erreicht wäre, wenn der Brechungsindex überall der gleiche wie im Punkte (x, y, z) 

 wäre. In diesem Sinne kann man die Eichfläche (c'j als Einheits welle bezeichnen, ein 

 Name, der sich auch bei Hamilton findet. In der Kristalloptik wird sie sonst wohl als 

 Strahlenfläche bezeichnet. 



Bei der Euklidischen Mafsbestimmung erhält man die geraden Linien als Extremalen 

 des Variationsproblems (b). Bei der allgemeinen Mafsbestimmung (c) treten an deren Stelle 

 die Extremalen des Variationsproblems (7), die Lichtstrahlen, die zwar, wenn in der Gleichung 

 der Eichfläche die Ortskoordinaten explizit auftreten, keine Geraden mehr sind, aber doch 

 geradeste oder geodätische Linien vorstellen. Auch den Winkel zweier Richtungen, 

 insbesondere das Senkrechtstehen, kann man von der Eichfläche aus erfassen. In der 

 Euklidischen Mafsgeometrie lautet die Bedingung für das Senkrechtstehen der beiden Richtungen 

 dx, dy, dy und dx, dy, 6 z 



(d) dx dx + dy dy + dz dz — 0, 



oder wenn wir die Funktion v (dx, dy, dz) = [/ dx 2 + dy' 1 + dz' 2 heranziehen, 



