W. R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 



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Aus (11) erhält man durch Differentiation nach den als unabhängig 

 anzusehenden Veränderlichen a, ß, y 



BW B 2 v , " B°-v : d 2 v ■ 



( 12 ) ~r~ =a3 a 2+#sFaä + *3^ 



0« c er o p- o y 



und zwei analoge Beziehungen, die als lineare Gleichungen in x, y, z die 

 Gleichungen des Lichtstrahls mit den Richtungskosinus a, ß, y sind, 

 und die also seine Lage im Raum bestimmen. Somit liefern die ersten 

 Ableitungen der Funktion W (er, ß, y) in analoger Weise die Lage eines 

 Strahls mit bekannter Richtung a, ß, y, wie vorher die ersten Ableitungen 

 der Funktion V [x, y, z) die Richtung des Strahls bestimmten , der durch 

 einen vorgegebenen Punkt hindurchgeht. 



Wie vorher durch die zweiten Ableitungen von V, so werden jetzt 

 durch die zweiten Ableitungen von W die Beziehungen zwischen 

 benachbarten Strahlen, d. h, die differentialgeometrischen Eigenschaften des 

 Strahlensystems beherrscht, die für die Abbildung durch ein optisches 

 Instrument grundlegend sind. Die Strahlen sind jetzt nicht mehr, wie 

 vorhin im Falle homogener Mittel die Normalen von Flächen. Daher leiten 

 diese Untersuchungen Hamilton zu der Differentialgeometrie der allgemeinen 

 (nicht flächennorm alen) Strahlensysteme über, die er unter Benutzung einerseits 

 der charakteristischen Funktion V, 1 ) andererseits der neuen Funktion W des 

 Strahlensystems aufbaut. Dafs die Ergebnisse, die er so auf zwei Wegen 

 erhält, übereinstimmen, Aveist er durch Umrechnung der einen in die anderen 

 nach. Dazu braucht er den Zusammenhang der zweiten Ableitungen der 

 beiden Funktionen I' und TF, den er daher in sehr ausführlich entwickelten 

 Formeln festlegt. 



Der Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen V (x, y, z) und 

 TF (a, ß, y) und ihren ersten und zweiten Ableitungen ist noch zu einem 

 anderen Zwecke wichtig. Will man nämlich das Strahlensystem beim 

 Durchlaufen eines optischen Instruments verfolgen, insbesondere seine Um- 

 formung an den Knickflächen, an denen eine Reflexion oder Brechung der 

 Lichtstrahlen stattfindet, untersuchen, so hat man zu beachten, dafs zu 

 beiden Seiten einer Knickfläche im allgemeinen V wie TF durch verschiedene 

 analytische Ausdrücke dargestellt werden. Die charakteristische Funktion 



!) Da die Lichtstrahlen im Sinne der durch das „Bogenelement" do gegebenen Mal's- 

 bestimmung die „Normalen" der Flächen V = Const. siod, so gewinnt Hamilton die Differential- 

 geometrie der allgemeinen Strahlensysteme in der Weise, dafs er die Krümmungstheorie der 

 Flächen im dreidimensionalen Euklidischen Räume auf die von Flächen in einem drei- 

 dimensionalen Räume mit allgemeiner Mafsbestimmung überträgt. 



