W. K. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik 



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haben würde. Hamilton denkt aber im ersten Nachtrag noch so wenig 

 daran, diese partielle Differentialgleichung zur Bestimmung der charakte- 

 ristischen Funktion 1' nutzbar zu machen, dafs er sie im ersten Nachtrag 

 gar nicht erwähnt. 



B. Der zweite Nacktrag. 



Im zweiten Nachtrag- kommt eine andere Auffassung zum Durchbruch. 

 Statt ein Strahlensystem durch ein gegebenes optisches Instrument zu ver- 

 folgen, fragt er jetzt nach dem allgemeinsten möglichen System, das durch 

 ein optisches Instrument erzeugt werden kann. Da tritt dann die partielle 

 Differentialgleichung für die charakteristische Funktion 1 u . y, z) in den 

 Vordergrund. Denn hat man durch ihre Integration die allgemeinste mögliche 

 Funktion V gefunden, so erhält man das zugehörige Strahlensystem, indem 

 man nach (10 a) in jedem Punkte einer Fläche V = C den zugehörigen 

 Strahl konstruiert. Für den Fall homogener isotroper Mittel gelingt Hamilton 

 nun die allgemeine Integration der zugehörigen partiellen Differential- 

 gleichung (15) bezw. (5) durch Beachtung der Beziehung zwischen den 

 beiden Funktionen V und W. Der Gedanke ist dabei der, dafs eine Trans- 

 formation, die die charakteristische Funktion V in eine andere Funktion 

 überführt, auch gleichzeitig die partielle Differentialgleichung für V in eine 

 partielle Differentialgleichung für die transformierte Funktion verwandeln 

 mufs. Wenn man nun gerade durch die Legendresche Transformation (10a), 

 (11) von der Funktion Fzu der Funktion W übergeht, so geht im besonderen 

 Falle eines homogenen Mittels die partielle Differentialgleichung in eine 

 endliche Gleichung zwischen den neuen Veränderlichen über. Im Falle 

 eines isotropen Mittels, der für praktische Zwecke der wichtigste ist, und 

 den Hamilton hier allein behandelt, wird durch die Legendresche Trans- 

 formation die partielle Differentialgleichung (15) einfach in die Beziehung 



(16) «*+0?+;7 a = 1 



umgesetzt, in der sogar die transformierte Funktion W nicht mehr vorkommt. 

 Hamilton kann daher die Funktion W ganz beliebig als Funktion ihrer 

 Veränderlichen ansetzen, und hat dann nur durch die Legendresche Trans- 

 formation zu der Funktion V zurückzukehren, um eine Lösung der vorgelegten 

 partiellen Differentialgleichung zu erhalten. Ist die Funktion W ganz 

 willkürlieh gewählt, so mufs sich so die allgemeine Lösung der 

 partiellen Differentialgleichung ergeben. 1 ) Hamilton setzt dem- 



') Diese Integration der partiellen Differentialgleichung der charakteristischen Funktion 

 benutzt den später von Lie systematisch ausgebildeten Gedanken, durch eine Transformation, 



