22 Georg Prange, 



entsprechend W als Potenzreihe in «, ß, y (mit willkürlichen Koeffizienten i 

 an, eliminiert 7 vermöge der Identität (16) und geht dann durch die 

 Legendresche Transformation zu der allgemeinen Lösung der partiellen 



insbesondere eine Berührungstransformation , der partiellen Differentialgleichung eine solche 

 Gestalt zu geben, dafs ihre Integration bekannt ist bezw. dafs im Sonderfall, wie hier, gar 

 keine Integration mehr auszufuhren ist. Übrigens hat ebenso wie Hamilton auch Plücker den 

 Gedanken, eine Differentialgleichung durch eine Rerührungstransformation auf eine bekannte 

 Differentialgleichung zurückzuführen und so zu integrieren, lange vor Lie durchgeführt (vgl. 

 J. Plücker, Analytisch - geometrische Entwicklungen, Bd. 2, Essen 1831, S. 265 — 267). 



Um das Verfahren im einzelnen geometrisch zu verstehen, erscheint es zweckmäfsig. 

 in der partiellen Differentialgleichung (15) bezw. (5) eine Koordinate, etwa r, zu unterdrücken 

 und die Differentialgleichung 



(£)" + (£)'=' 



zu behandeln. Man erkennt unmittelbar, dafs 



(b) V — x cos <p -f- y sin <jp + P, 



wo <jp und p zwei beliebige Konstante sind, eine vollständige Lösung dieser Gleichung 

 vorstellt. Geometrisch stellt jede dieser Lösungen eine Ebene im (x. y, V) Raum, die voll- 

 ständige Lösung also eine zweiparametrige Ebenenschar vor. 



Aus der vollständigen Lösung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung 

 erhält man nach den Regeln die allgemeine Lösung, wenn man die Konstante p als eine 

 willkürliche Funktion von <jp ansetzt und dann 93 vermöge der Beziehung 







(f> 



eliminiert. Die allgemeine Lösung unserer partiellen Differentialgleichung ist also eine will- 

 kürliche abwickelbare Fläche. 



Für die unverkürzte Gleichung (5) bezw. (15) hat man entsprechend als vollständige 

 Lösung eine dreiparametrige Schar von dreidimensionalen „ebenen" Mannigfaltigkeiten im 

 vierdimensionalen (x, y, 2, V) Raum und die allgemeine Lösung ist eine willkürliche in eine 

 ebene Mannigfaltigkeit „abwickelbare" dreidimensionale Mannigfaltigkeit. 



Die Legendresche Transformation bedeutet, dafs die Integralfläche statt in Punkt- 

 koordinaten in Ebenenkoordinaten ausgedrückt wird, bezw. dafs der Integralfläche eine neue 

 Fläche zugeordnet wird, deren Punktkoordinaten gleich den Ebenenkoordinaten der ursprüng- 

 lichen Fläche sind. Bei dieser Zuordnung entspricht einem Element der ursprünglichen 

 Differentialgleichung im Lieschen Sinne, d. h. einem Punkt einer Integralfläche mit der 

 hindurchgehenden Tangentenebene, ein Element der transformierten Differentialgleichung, 

 so dafs die als zweiparametriger Elementenverein aufzufassende Integralfläche in einen zwei- 

 parametrigen Elementenverein übergeht und also die zugeordnete Fläche eine Integralfläche 

 der transformierten partiellen Differentialgleichung wird. 



Fafst man eine der Ebenen (b) als Elementenverein der partiellen Differential- 

 gleichung (a) auf, so hat sie die Eigentümlichkeit, dafs die Ebenen, die die einzelnen Punkte 

 zu Elementen ergänzen, sämtlich zusammenfallen, da sie mit der Ebene (b) selbst identisch 



