W. R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 



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Differentialgleichung der charakteristischen Funktion V{x, y,z) über. Dabei 

 führt er die notwendigen Eliminationen nach einer von Laplaee herrührenden 

 Methode durch. Für die Zwecke der optischen Praxis spezialisiert er die 

 Ergehnisse insbesondere für den Fall, dafs Symmetrie um eine Achse herrscht, 

 wie es bei aehsensymmetrischen Instruinenten der Fall ist, wenn der leuch- 

 tende Punkt auf der Achse des Instrumentes liegt. 



4. Dritter Nachtrag. 



Im dritten Nachtrag kehrt Hamilton zu den Fragestellungen des 

 eisten Nachtrags zurück. Aber jetzt haben seine Überlegungen in dem 

 steten Ringen mit dem Stoff den grofsen Zug ins Allgemeine gewonnen, so 

 dafs wir hier noch mehr als in den anderen Abhandlungen die weitreichende 

 Bedeutung der Hamiltonschen Erkenntnisse vor Augen haben. Schon 

 äufserlich tritt die Allgemeinheit seiner Auffassung darin in Erscheinung, 

 dafs er liier den Breehungsindex v als eine allgemeine Funktion des Ortes 

 und der Richtung des Lichtstrahls auffafst, ja, dafs er sogar die Farbe des 



sind. Durch die Legendresche Transformation geht dieser Elementenverein daher in einen 

 einzigen Punkt über, durch den oo 2 Ebenen hindnrchlaufen. Die transformierte Gleichung 

 mufs also erfüllt sein, ganz gleich, welche Werte die partiellen Ableitungen der trans- 

 formierten unbekannten Funktion haben. Das heifst aber doch nichts anderes, als dafs die 

 transformierte Differentialgleichung von den partiellen Ableitungen der transformierten Funktion 

 frei, also eine endliche Gleichung sein mufs. 



Eine solche endliche Gleichung kann geometrisch als eine Fläche gedeutet werden. 

 Jeder der Punkte dieser Fläche, als Träger eines Ebenenbündels aufgefafst, stellt eine Lösung, 

 die zweipaiametrige Schar der Punkte der Fläche also eine vollständige Lösung der trans- 

 formierten partiellen Differentialgleichung vor. Im Sonderfalle der Gleichung (a) fällt aus der 

 endlichen Gleichung auch noch die Gröfse IT ganz heraus, diese endliche Gleichung wird einfach 



(a') a 2 + |3 2 = 1 



und stellt also im (a, ß, IF)-Raum einen Kreiszylinder mit der 1F- Achse als Achse vor. 



Aus der zweiparametrigen Schar seiner Pnnkte, die als Träger von Ebenenbündeln 

 anzusehen sind, d. h. aus der vollständigen Lösung der transformierten „ Differentialgleichung •' 

 (a') erhält man eine allgemeine Lösung, wenn man auf dem Zylinder eine Raumkurve 



W = W («, ß) 



zieht und jeden ihrer Punkte nur noch als Träger eines Ebenenbüschels auffafst, der die 

 Tangente der Kurve als Achse besitzt. Formt man diesen Elementenverein durch die 

 Legendresche Transformation um, so ergibt sich eine abwickelbare Fläche, also das allgemeine 

 Integra] von (a). Man sieht durch den Vergleich mit den Ausführungen im Text, dafs 

 Hamilton gerade diese letzte Operation, nur mit einer unabhängigen Veränderlichen mehr, 

 vollzieht. 



