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Georg Prange. 



Gehen wir von der Beziehung 



(.33) v{^n>H\x\,yu*d = c 



die als Direktrixgleichung der Berührungstr.ansformation (in 

 der Plückerschen Bezeichnung) eine zentrale Stellung erhält, aus, so ordnet 

 sie wie wir oben sahen, einem Punkte des Objekt- bezw. Bildraumes eine 

 Fläche des Bild- bezw. Objektraumes zu. Nehmen wir nun in dem einen 

 Räume, etwa im Objektraume, statt eines einzelnen Punktes ein Wellen- 

 flächenelement, das wir durch drei infinitesimal benachbarte Punkte gegeben 

 denken können, so entsprechen diesen drei Punkten drei Flächen, die zu 

 infinitesimal benachbarten Werten der Parameter x u y u z v gehören. Die drei 

 Flüchen schneiden sich in einem Punkte, und dieser Schnittpunkt gehört 

 gleichzeitig der Hüllfläche der Flächenschar an, die entsteht, wenn man 

 die Paramter x u y u z x auf einer Fläche, der das Flächenelement angehört, 

 variieren läfst. Dem Schnittpunkt ist damit gleichzeitig eine Ebene zu- 

 geordnet, nämlich die Tangentenebene dieser Hüllfläche, und Punkt und 

 Ebene bilden zusammen das Element des Bildraums, das durch die optische 

 Abbildung dem gegebenen Element des Objektraums entspricht, Nimmt man 

 die Konstante in (33) veränderlich, so erhält man so alle Elemente, die mit 

 wachsender Zeit einem einzelnen Element des Objektraumes entsprechen. 



I >er Schnittpunkt der drei infinitesimal benachbarten Flächen ist 

 durch die Beziehungen 



BV , dV Bz { BV , BV : BV BV Bz x BV , BV\, 



- + 3 jF = - + - — a, = 0, ~ Kö< ö - = 5 \~ 't fc i = 



Bx x Bzi cx^ dasy cs x By x B z x By y By x Bjs x 



gegeben, die zusammen mit der Gleichung (23 b) die Gleichungen 



BV BV • BV 



ox x , 1 By x Bz x 



liefern. Da er immer auf dem Lichtstrahl liegen mufs, so stellen 

 diese Beziehungen (34) die endlichen Gleichungen des Licht- 

 strahls dar, der von dem Punkte (x ly y^ ausstrahlt. Wir müssen dazu 

 in (34) ',,,//., :, als Veränderliche ansehen und die Konstanten so bestimmen, 

 dafs die Richtung des Strahls in x u //,. .: ', den durch das vorgegebene Element 

 bestimmten Wert erhält. So fliefst aus der Auffassung der charakteristischen 

 Funktion als Direktrixgleichung der Berührüngstransformation unmittelbar 

 die Darstellung der endlichen Gleichungen des Lichtstrahls bezw. der 

 Lösungen der Euler - Lagrangeschen Gleichungen des Väriationsproblems. 1 ) 



') Die Auffassung der Lichtausbreitung als einer Berührungstransformation ist in 

 neuerer Zeit ausführlich von Vessiot entwickelt, der übrigens keinerlei Bezug auf Hamilton 



