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Georg Prange. 



eine Einheit auffassen und hat danach die optische Abbildung als eine geo- 

 metrische Transformation, die die geraden Linien des einen Raumes in 

 bestimmter Weise in die geraden Linien des anderen Raumes überführt. 

 Da nun die Richtung der Geraden die Stellung der Ebene bestimmt, so 

 werden für die Untersuchung der Abbildung- zweck mäfsig solche Gröfsen 

 als unabhängige Veränderliche gewählt, die die Richtung der Strahlen fest- 

 legen. Das ist der gleiche Gedanke, der Hamilton schon im ersten Nach- 

 trag von der Funktion V zu der Funktion W geführt hat, die er dort als 

 Funktion der Richtungskosinus des Strahls ansah. Nur betrachtet er im 

 ersteil Nachtrag immer nur das einzelne Strahlenbündel in einem Räume, 

 nicht die durch die optische Abbildung vermittelte Transformation eines 

 Raumes in einen anderen. 



Ebenso wie im ersten Nachtrag formt er auch im dritten Nachtrag 

 die charakteristische Funktion V (x.» y 2 , z 2 ; x u y u # x ) durch die Legendresche 

 Transformation 



ar ar ar 



> — h 1 T 1 = r, , V 2 = ~ , ... 



OX-2 dy-2 CZ'i 



m 



ar ar ar 



<j\ =- '—• 5 , r, = — ~ , v t = — 



Ö35, dtfi ds v 



in eine neue Funktion 



(35) T (<>■>. T 2 .r 2 : ö,,t,, v t ) = (^02^2^2 +^2 «-9 — ( x \ tfi + 'AT, +z t %).— V(ß^tf%^i 



um, in der er jetzt folgerichtig im Sinne der Legendreschen Transformation, 

 die ö, t, v selbst als unabhängige Veränderliche beibehält und sie nicht, wie 

 im ersten Nachtrag, durch die Richtungskosinus a, ß, y der Strahlen ersetzt. 



Übrigens kann man diese Funktionen T auch im allgemeinen Falle 

 krummliniger Lichtstrahlen zur Untersuchung der optischen Abbildung ver- 

 wenden, und wenn Hamilton auch gewifs zu ihrer Einführung durch die 

 optische Abbildung mit geradlinigen Lichtstrahlen gekommen ist, so gibt 

 er doch in seiner Darstellung vorab ihre Verwendung für den allgemeinen 

 Fall beliebiger nichthomogener und nichtisotroper Mittel. In diesem Falle 

 hat man keine Strahlenabbildung eines Raumes in einen anderen, sondern 

 mufs die Überführung eines einzelnen Wellenelements a,T,v.;x,y,.z in ein 

 anderes betrachten. Die Funktion T beherrscht diese Transformation genau 

 so, wie vorhin die charakteristische Funktion V. Während in dieser die 

 Koordinaten der beiden Punkte der Elemente ./•,, //,. z v und .r 2 , y.,, z 2 als un- 

 abhängige Veränderliche auftraten, haben wir in T je die drei anderen 

 Gröfsen a u t u v, bezw. ö 4 , t 2 , v 2 der beiden Wellenelemente als unabhängige 

 Veränderliche. In gleicher Weise, wie wir vorhin durch Differentiation von 



