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ERMENEGILDO DANIELE 



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da cui a' -f- ^ = -^. Questo dice che la direzione (5 coniugata di a nell'involuzione (15) 



si può ottenere costruendo la direzione a' corrispondente di a nella proiettività (10"), 

 e poi cercando di a' la simmetria rispetto ad una bissettrice degli angoli formati 

 dagli assi di dilatazione; in altre parole l'involuzione (15) è il prodotto della proiet- 

 tività (10'') e della simmetria rispetto a quelle bissettrici. Nello studio approssimato 

 da noi fatto l'involuzione (15) coincideva invece con quest'ultima simmetria. La (15) 

 non è poi altro che l'involuzione dei diametri coniugati dell'iperbole 



= 1, (15") 



l+o, 



costruita nel piano dell'elemento di superficie, i cui assi coincidono cogli assi di 

 dilatazione. 



Ponendo nelle (15) a = p, si ottiene un'equazione la quale determina gli elementi 

 doppi dell'involuzione (15), e da essa si può dedurre, facendo la sostituzione tga= 



l'equazione differenziale delle linee che sono tangenti, in ogni loro punto, all'uno o 

 all'altro assintoto dell'iperbole (15") relativa a quel punto. Per h = l'equazione 

 degli elementi doppi dell'involuzione (15) diventa 



tg 2 «=j^, (15*) 



e questa determina due direzioni le quali non coincidono, come nel precedente caso 

 di approssimazione, colle bissettrici degli angoli degli assi di dilatazione. Invece nel 

 caso presente la (15*) coincide colla (17), che definisce le due direzioni di deviazione 

 massima: questa proprietà concorda colla teoria del Dini. 



Per un elemento che si deformi ad area costante, vale a dire colla condizione 

 ai -}-&!= 0, s'è trovato, nello studio approssimativo, che le direzioni coniugate di sè 

 stesse coincidono con quelle per cui è nulla la dilatazione lineare; ciò non è più vero 

 nella nuova ipotesi, come risulta dal confronto delle equazioni (12') e (15*). Si noti 

 però che non si ritrova neanche il teorema, che ha luogo nella più generale rappre- 

 sentazione di una superficie sopra un'altra, secondo il quale le direzioni a dilatazione 

 lineare nulla coincidono con quelle di deviazione massima: ciò proviene dal fatto che 

 la condizione a v -f- b y — esprime l'inestendibilità superficiale solo in via di appros- 

 simazione, poiché nel calcolo della dilatazione superficiale, fatto al n. 6, si tenne 

 conto soltanto degli infinitesimi di ordine meno elevato. 



IO. — Si è visto che un cerchio nel piano dell'elemento che si deforma, col 

 centro nel punto M, si trasforma in un'ellisse; vogliamo vedere quale sia la condi- 

 zione affinchè si trasformi in un altro cerchio. Chiamando l, m le coordinate di un 

 punto P dell'elemento, da esse si deducono le coordinate V, m' del suo trasformato 

 P' ricorrendo alle (6); si ha così 



r = (H«)I + k, m' = W + (l + ò)m, 



