17 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 41 



da cui si ricava 



7 — (l + b)t — hm' _ —hl + Q. +a)w 



1 — a , m — A , 



essendosi posto 



A = (1 + a) (1 + b) — /t 2 . 

 Se il punto P appartiene al cerchio 



P + m 2 = p 2 , 



il punto P' apparterrà all'ellisse 



j(l + bf + A 2 (Z' 2 — 2A(2 + « -f $)!'»' + |(1 4- «) 2 + = P 2 ^ 2 , 



e se vogliamo che questa si riduca ad un cerchio, dovrà essere: a=b, h = 0. Chia- 

 mando deformazione uniforme quella in cui un cerchio si trasforma in un cerchio, 

 abbiamo il teorema: " Le condizioni affinchè un elemento di superficie si deformi 

 uniformemente sono, in un sistema qualunque di linee coordinate ortogonali, a=b, h=0„. 



Si riconoscono facilmente le semplificazioni che per questa deformazione parti- 

 colare si producono nei risultati dianzi ottenuti. La (10) fa vedere che il raggio MP' 

 trasformato di MP ha la stessa direzione di MP, e quindi ogni punto si sposta lungo 

 il raggio che lo unisce a M. La (11')» che è l'equazione differenziale delle linee di 

 deformazione, diventa un'identità quando la deformazione sia uniforme per tutti gli 

 elementi della superficie; se invece questo non accade che per punti speciali, essi si 

 trovano, rispetto alla deformazione, in una condizione analoga a quella in cui si tro- 

 vano gli ombelichi rispetto alla curvatura. La dilatazione lineare è la stessa per tutte 

 le direzioni uscenti da M, mentre la dilatazione superficiale non può mai essere nulla, 

 a meno che l'elemento si mantenga rigido. Non vi sarà più luogo a considerare la 

 direzione coniugata di un'altra, perchè l'angolo di due direzioni qualunque non varia, 

 e difatti la (16) diventa un'identità; come neppure si potrà parlare di direzioni di 

 massima deviazione, dal momento che per ogni direzione la deviazione è nulla. 



11. — Consideriamo ancora gli assi cartesiani x, y, z a cui la superficie s'in- 

 tende riferita, e diciamo, come già si fece al § 1°, Zr\Z le componenti rispetto a x, 

 y, z, dello spostamento di un punto M della superficie. Le funzioni E, F, G della 

 teoria delle superficie subiscono delle variazioni che si possono calcolare facilmente 

 in funzione di E, n, l; per E ad es. si ha 



* b E = |^4-^ r+YT> (18) 



ed espressioni analoghe si hanno per òF e òG. Ma queste medesime variazioni si 

 possono anche calcolare in funzione delle componenti X, u, v dello spostamento del 

 punto M rispetto alle direzioni u, », w\ basterà perciò sostituire, nella (18) e nelle 

 analoghe, a E, ri, l i loro valori, espressi mediante X, u, v, dati dalle (1). Queste 



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