19 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 43 



conferma il significato, che già conosciamo, dell'annullarsi di k in un punto della 

 superficie, cioè che le linee coordinate u, v sono in quel punto tangenti agli assi di 

 dilatazione. 



Le (20) mostrano che le condizioni a=h=b=0 equivalgono alle òE=6F=bG==0; 

 ora queste sono le condizioni ben note della inestendibilità di una superfìcie nel senso 

 lineare: resta perciò confermato quello che s'era già visto al n. 5, che l'annullarsi 

 di a, h, b in ogni punto della superficie corrisponde a supporla inestendibile. 



Si calcoli ancora, tenendo conto delle (20), la variazione che subisce il prodotto 

 EG nella deformazione; si ha 



Ò(EG) == EòG 4- GòE = 2EG (a + b) ; 



vi ha dunque equivalenza fra le condizioni Ò(EG) = e a -f- b = 0. Ma la prima è, 

 per F = 0, la condizione di inestendibilità della superficie nel senso di Lagrange, 

 cioè nel senso che la superficie si mantenga di area invariata in ogni sua parte; 

 per conseguenza il significato dell'annullarsi di a -j- b è quello stesso che già s'in- 

 contrò al n. 6. 



§ 3». 



Relazioni fra le componenti della rotazione ed i coefficienti della pura 

 deformazione; ^equazione caratteristica delle deformazioni infi- 

 nitesime d'una superficie comunque estendibile. 



12. — La rotazione di un elemento di superficie e la sua pura deformazione 

 ci sono definite dalle equazioni (4) e (5), le quali dànno le componenti dell'una e i 

 coefficienti dell'altra espressi in funzione delle componenti dello spostamento effet- 

 tivo, subito dal centro dell'elemento stesso, e delle loro derivate prime. Si presenta 

 ora la questione, se e come si possa, dalla conoscenza della rotazione e della pura 

 deformazione di ciascun elemento, risalire alla determinazione dello spostamento che 

 ricevono i singoli punti della superficie. Le (4) e (5) si possono riguardare comples- 

 sivamente come sei equazioni fra nove funzioni, che sono le componenti X, (i, v dello 

 spostamento totale di un punto, le componenti p, q, r della rotazione ed i coefficienti 

 a, h, b della pura deformazione; vi è dunque da domandarsi, in primo luogo, a quali 

 condizioni le equazioni (4) e (5) permettano il calcolo di X, u, v in funzione di p, q, 

 r, a, h, b; in altre parole bisogna anzitutto ricercare le condizioni a cui queste ultime 

 funzioni vanno sottoposte affinchè corrispondano ad una effettiva deformazione della 

 superficie. Il calcolo che ora faremo ci mostrerà come realmente non si possano fis- 

 sare ad arbitrio la rotazione e la pura deformazione, e nel precisare la loro mutua 

 dipendenza troveremo dei risultati i quali si potranno considerare come la naturale 

 estensione di cose già ben note per le superficie inestendibili. 



13. — Le equazioni (4) e (5) si scrivono anche nel modo seguente, risolvendole 

 rispetto alle derivate di X, u, v : 



