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ERMENEGILDO DANIELE 



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1 ò^E 



òu vg òv ^ 1 ve 



òu _ _1_ òV~E 

 òu 



a— = 7= X 7= H — ?KE, 



D 



K vi 



D' 



|u_ = _ 1 iJ/G x+ D; v + è( /G ! (2 l) 



òv 



òv 



■ÌH- Ìu + »l/G, 

 VE VG *\77* r 



Le funzioni X, u, v verificano dunque le seguenti tre equazioni ai differenziali totali: 



1 òl'G 



dv 



1 ÓVE | D , ,/s 



i-- ò ^X + ^v-f(^ + r)j/E 

 VG òv VG 



D' 



(2w -|- 



du 



u + J^v + t/* — r)|/G 



Ve ò « ve 



Ve ° m 



D" 

 VG 



v + ò/G 



(21') 



^x--^u- ? ^É 

 Ve Vg 



D" 

 VG 



noi ci proponiamo di trovare le condizioni affinchè il sistema (21') sia illimitatamente 

 integrabile. Sono noti i metodi generali che permettono di scrivere quelle condizioni, 

 come pure è noto che, quando siano soddisfatte, esisterà sempre un sistema di inte- 

 grali delle (21'), nel quale si potranno assumere ad arbitrio i valori di X, u, v che 

 corrispondono ad una scelta arbitraria per i valori delle variabili u, v. Questi 

 metodi (*) conducono, in sostanza, a calcolare, mediante le (21), le relazioni 



òu òv 



ò 2 \ 



òvòu ' 



òuòv 



Ò 2 H 



ò'v 



ò 2 v 



òvòu ' òuòv òvòu ' 



(22) 



le quali vengono a contenere linearmente X, u, v e le loro derivate prime ; a queste 

 derivate si può sostituire le loro espressioni in funzione di X, u, v fornite dalle 

 stesse (21), per modo che le (22) si riducono infine a tre equazioni algebriche e 

 lineari in X, u, v. Dovendo queste equazioni essere soddisfatte identicamente, egua- 

 gliando separatamente a zero i loro coefficienti si avranno le condizioni d' integra- 

 bilità del sistema (21'). 



Attuando i calcoli, troviamo che le (22) assumono la forma 



ove s'è posto 



Cu + Bv = K L 

 Av + CX == K 2 

 BX — Au = K 3 , 



A _ D' òVE , D òYG ò_ D" , ò D' 



y'EG df E du òu VG òv VG 



B _ D' òYG ! D" ò|/E ! ò D' ò D 



Vèg òu ' g òv ' òu vè òv Ve 



(22') 



C = 



DD" — D' 1 

 VÈG 



dv 



ò ( i òVg 



VE 



\jL. Ò ( 1 òVE\ 



r òv\VG òv ) 



(*) Cfr. ad es.: Gouesat, Legons sur les équatìons aux dérivées partielles du premier ordre, cap. III. 



