21 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 45 



K, = (a- 4)^+ ,/È-2A^-^=^|/E +D^Jp + D' 2 

 v ov ov ou òw r & 



K 2 = (a_è)M-|Ì 1 ^ + 2/.^+^^ ) |/É+D'p + l/f D ''2 1 ( 23 ) 



v ÓU ou ' ov ' o« " « I 



le condizioni di integrabilità delle (21') sarebbero dunque 



A = 0, B = 0, C = 0, K t = 0, K 2 = 0, K 3 = 0. 



Ora convien notare che A, B, C non contengono altro che i coefficienti E, F, G; 

 D, D', D" della prima e della seconda forma fondamentale della teoria delle super- 

 ficie, mentre K u K 2 , K 3 contengono anche p, q, r, a,h,b; per cui le relazioni che si 

 cercavano fra le componenti della rotazione ed i coefficienti della pura deformazione 

 in realtà sono soltanto tre. Quanto alle condizioni A = 0, B = 0, C = 0, è facile 

 accertarsi che si debbono senz' altro ritenere come identicamente soddisfatte. Ed 

 invero cominciamo coll'osservare che la curvatura totale della superficie in un suo 



DD" D' 2 



punto qualunque è data da - ^ 8 ; sappiamo d'altronde che la curvatura medesima 



si può esprimere mediante le sole funzioni E, F, G e le loro derivate prime e seconde: 

 ora se noi eguagliamo fra di loro le due espressioni della curvatura, otteniamo una 

 relazione fra E, F, G, D, D', D", la quale nel caso presente, in cui è F = 0, si riduce 

 a C •= 0. Di più è noto che tra i coefficienti della prima e della seconda forma fon- 

 damentale passano altre due relazioni identiche, le cosidette equazioni di Mainardi- 

 Codazzi; queste per F — coincidono colle A = 0, B = (*). 



In conclusione, astraendo dalle condizioni A = B — C = 0, le quali non inte- 

 ressano la deformazione, possiamo enunciare il teorema: 



In una deformazione infinitesima della superficie le componenti p, q, r della rota- 

 zione ed i coefficienti a, h, b della pura deformazione sono legati dalle equazioni 



K l = 0. (i = l,2,3) (24) 



E possiamo aggiungere che, soddisfatte le K, = 0, ogni sistema di funzioni X, u, v 

 che verifichi le (21) si può far coincidere con un sistema arbitrariamente fissato di 

 valori X , u , v in corrispondenza ad una coppia di valori u , v comunque scelti 

 per m, v. In altre parole, fissate p, q, r, a, h, b in modo da soddisfare alle = , la 

 deformazione della superficie è individuata quando si conosca lo spostamento di un suo 

 punto qualunque. 



A complemento di questo risultato vedremo più innanzi, al § 4°, che le X, u, v 

 si ottengono con quadrature. 



14. — Supposta nota la legge secondo cui avviene la pura deformazione, cioè 

 supposte note le funzioni a, h, b, per poter determinare le deformazioni infinitesime 



(*) Cfr. p. es.: Bianchi, Geom. differenziale, p. 91, equaz. (IV*). 



