23 SULLE DEFORMAZIONI INFINITESIME DELLE SUPERFICIE FLESSIBILI ED ESTENDIBILI 47 



essendosi posto 



K = 



DD' 



EG 



M = 



GD + ED" 

 EG 



cioè indicando con K e M risp. la curvatura totale e la curvatura media della super- 

 ficie prima della deformazione. 



La r figura soltanto nel primo membro della (27), mentre nel secondo membro 

 non vi compaiono che quantità note (assumendo come note a, h, b); ad ogni fun- 

 zione r soddisfacente alla (27) le (26) fanno corrispondere in modo unico un sistema 

 di funzioni p e q, le quali colla precedente r costituiscono un sistema di integrali 

 delle (24), sicché l' integrazione di queste è ridotta all' integrazione della (27). Le 

 funzioni a, h, b che figurano nel secondo membro della (27) possono essere qualunque; 

 in particolare se si fa a = h = b = , cioè si suppone la superficie inestendibile , 

 le (25) mostrano che si annullano k u k 2 , k 3 , onde per le (25') sono pure nulli S! e S 2 , 

 e perciò svanisce il secondo membro della (27). Questa si riduce allora alla ben nota 

 equazione caratteristica che s'incontra, sotto diverse forme, nella teoria delle defor- 

 mazioni infinitesime di una superficie flessibile ed inestendibile : nella forma presente 

 è quale fu ottenuta dal Weingarten nel voi. 100 del 8 Giornale di Creile „; la nostra 

 equazione (27) non è dunque che l'equazione caratteristica di Weingarten generalizzata 

 per una superficie comunque estendibile. La sua deduzione è assai facile, come s'è 

 visto, partendo dalle equazioni (4) e (5). 



Anche nel caso di una superficie estendibile viene ad assumere la massima im- 

 portanza la componente della rotazione dell'elemento superficiale rispetto alla nor- 

 male, cioè la funzione r, quella stessa funzione che, introdotta per la prima volta 

 dal prof. Volterra (*) per studiare gli elementi caratteristici di una deformazione 

 infinitesima d'una superficie inestendibile, veniva pochi anni dopo ripresentata, sotto 

 un aspetto puramente algebrico, dal Weingarten nel lavoro citato addietro (**). 



15. — Il caso escluso delle superficie sviluppabili si può trattare a parte, rife- 

 rendo, per semplicità, la superficie alle generatrici come linee v ed alle loro traiet- 

 torie ortogonali come linee u; per cui si dovrebbe porre nelle (24) 



La trattazione però non presenta nulla d'interessante, se non quando la superficie è 



(*) Sull'equilibrio delle superficie flessibili ed inestendibili, * Transunti dell'Acc. dei Lincei . , 1884. 



(**) Weingarten definisce la funzione caratteristica <p come l'invariante dell'espressione differen- 

 ziale Z£rf.r (ove 5, ri, 2 sono le componenti dello spostamento di un punto rispetto agli assi carte- 

 siani x, y,z) rispetto alla forma ds 2 — Edw 2 -} - 2Fdudv -f- Gdv 2 , cioè pone 



Sostituendo a E, ri, Z le loro espressioni in funzione di X, u, v contenute nelle (1), e ponendo F = 0, 

 si riconosce che la funzione <p definita dall'ultima formola coincide, salvo il segno, colla r definita 

 dalle (4). 



D' = D" = , 



Òv 



E = G = 1. 



